Nos Exercícios 3 a 6, obtenha uma descrição explícita de Nul A listando os vetores que geram o espaço nulo.
A=[rrrrr1 & -2 & 0 & 4 & 0 0 & 0 & 1 & -9 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 1]

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente achar uma descrição explícita de Nul,A, ou seja, todos os vetores xinR^5 que satisfazem A,x=0.
Conteúdo: espaço nulo de uma matriz (ou kernel), sistema homogêneo, variáveis básicas (pivôs) e variáveis livres, forma paramétrica.
O que vamos usar:
  1. Escrever o sistema A,x=0.
  2. Identificar quais variáveis são pivôs e quais são livres (pela forma escalonada da matriz).
  3. Expressar as variáveis pivô em função das livres.
  4. Montar a solução em forma vetorial paramétrica.

Passo 2

Primeiro, anota aí a matriz e o sistema homogêneo:
A= 1 & -2 & 0 & 4 & 0 0 & 0 & 1 & -9 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 1 , x=(x1,x2,x3,x4,x5)^T, A,x=0
Isso dá as três equações:
  1. x1-2x2+4x4=0,
  2. x3-9x4=0,
  3. x5=0.

Passo 3

Agora vamos ver pivôs e livres. A matriz já está em forma escalonada:
  • Pivôs nas colunas 1, 3 e 5 (porque aparecem os primeiros “1” em cada linha).
  • Logo, x1, x3, x5 são variáveis básicas (pivô) e x2, x4 são livres.

Passo 4

Expressa cada pivô em função das livres:
  • Da eq. (1): x1 = 2x2 - 4x4.
  • Da eq. (2): x3 = 9x4.
  • Da eq. (3): x5 = 0.
Como x2 e x4 são livres, coloca parâmetros:
x2 = s, x4 = t, s,tinR

Passo 5

Substitui tudo em x=(x1,x2,x3,x4,x5):
x = l(2s-4t,;s,;9t,;t,;0r) = s,(2,1,0,0,0) ;+; t,(-4,0,9,1,0)
Pronto, essa é a forma paramétrica do espaço nulo.

Resposta

Nul,A = spanl(2,1,0,0,0),;(-4,0,9,1,0)r.

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