Dado o plano H de equação cartesiana x+2y+3z+7=0, encontre equações paramétricas de H.

Passo 1

O enunciado pede para parametrizar o plano H dado por
x + 2y + 3z + 7 = 0
Como um plano em R^3 é um espaço de dimensão 2, vamos usar dois parâmetros livres para descrever todos os seus pontos.

Passo 2

Escolhemos duas variáveis como parâmetros livres. Por exemplo, seja
y = s, z = t,
com s,tinR. Substituindo na equação do plano:
x + 2s + 3t + 7 = 0 Longrightarrow x = -2s - 3t - 7

Passo 3

As equações paramétricas de H em termos de s e t são portanto
x = -2s - 3t - 7, y = s, z = t

Passo 4

Para verificar, basta substituir essas expressões em x + 2y + 3z + 7:
(-2s-3t-7) + 2s + 3t + 7 = 0,
mostrando que todo ponto gerado satisfaz a equação do plano e, variando s,tinR, obtemos exatamente H.

Resposta

x = -2s - 3t - 7, y = s, z = t, s,tinR

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