Encontre equações paramétricas de uma reta r que passa pelos pontos P=(3,1,7) e Q=(1,0,6).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de Geometria Analítica onde precisamos encontrar as equações paramétricas de uma reta que passa por dois pontos dados no espaço: P = (3, 1, 7) e Q = (1, 0, 6) . Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores e retas no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que são equações paramétricas de uma reta. Basicamente, elas descrevem a reta em termos de um parâmetro, geralmente chamado de [t), que varia ao longo da reta. As equações têm a forma:
Aqui, é o vetor diretor da reta, que indica a direção da reta.

Passo 3

Vamos identificar o vetor diretor da reta que passa pelos pontos P e Q . Para isso, subtraímos as coordenadas de P das de Q :
PQ = Q - P = (1 - 3, 0 - 1, 6 - 7) = (-2, -1, -1)
Esse vetor PQ = (-2, -1, -1) será o nosso vetor diretor (a, b, c) .

Passo 4

Agora, escolhemos um dos pontos dados como ponto inicial (x0, y0, z0) . Vou usar o ponto P = (3, 1, 7) . Então, substituindo na fórmula das equações paramétricas:
x = 3 + (-2)t y = 1 + (-1)t z = 7 + (-1)t

Passo 5

Simplificando um pouco as equações, podemos escrever:
x = 3 - 2t y = 1 - t z = 7 - t
Essas são as equações paramétricas da reta que passa pelos pontos P e Q .

Resposta

As equações paramétricas da reta [r) são:
onde (t] é um parâmetro real.

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