Dado o plano H de equações paramétricas x(t, s)=t+2s+3, y(t, s)=2t+4s+5 e z(t, s)=3t+5s+7, encontre uma equação cartesiana de H.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos o plano H definido por equações paramétricas
x(t,s)=t+2s+3, y(t,s)=2t+4s+5, z(t,s)=3t+5s+7
O objetivo é encontrar uma equação cartesiana de H. Para isso, vamos usar a fórmula genérica de um plano
ncdot(r-r0)=0,
onde n é um vetor normal ao plano e r0 é um ponto qualquer do plano.

Passo 2

Extraímos dois vetores diretores de H a partir dos coeficientes de t e s:
v1=(1,2,3), v2=(2,4,5)

Passo 3

O vetor normal n é dado pelo produto vetorial
n = v1 times v2 = i & j & k 1 & 2 & 3 2 & 4 & 5 = (-2,1,0)

Passo 4

Um ponto em H é obtido para t=0 e s=0, que dá (3,5,7). Assim a equação do plano é
(-2,1,0)cdotl((x,y,z)-(3,5,7)r)=0
que expande para
-2(x-3)+1(y-5)+0(z-7)=0
e simplifica para
2x - y - 1 = 0

Resposta

A equação cartesiana de H é
2x - y - 1 = 0

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