Dado um plano ax+by+cz=d. Mostre que
c neq 0, então uma equação paramétrica do plano é:
(x, y, z)=(t, s,-ac t-bc s+dc)

Passo 1

O enunciado dá o plano
a x + b y + c z = d
com c neq 0. Queremos obter sua forma paramétrica, ou seja, expressar (x,y,z) em função de dois parâmetros.

Passo 2

Para parametrizar um plano em R^3 precisamos de dois graus de liberdade. A escolha mais natural é
x = t, y = s,
onde t e s são nossos parâmetros.

Passo 3

Substituindo x=t e y=s na equação do plano, temos
a,t + b,s + c,z = d
e, isolando z,
c,z = d - a,t - b,s Longrightarrow z = d - a,t - b,sc

Passo 4

Reescrevendo a expressão de z em partes, obtemos
z = -ac,t ;-;bc,s ;+;dc
Logo o vetor posição genérico fica
(x,y,z) ;=;l(t,;s,;-tfracac,t ;-;tfracbc,s ;+;tfracdcr)

Resposta

(x,y,z)=l(t,;s,;-tfracact-tfracbcs+tfracdcr)

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