Mostre que os pontos A=(2,1,0), B=(3,0,2), C=(0,3,-4) e D=(5,1,1) são coplanares. Eles são colineares?

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que os pontos
;A=(2,1,0), ;B=(3,0,2), ;C=(0,3,-4) e ;D=(5,1,1)
são coplanares e verificar se eles são colineares. Vamos usar operações com vetores em R^3: produto vetorial e produto misto (triplo escalar) para coplanaridade, e proporcionalidade de vetores para colinearidade.

Passo 2

Definimos os vetores
AB=B-A=(3-2,;0-1,;2-0)=(1,-1,2),
AC=C-A=(0-2,;3-1,;-4-0)=(-2,2,-4),
AD=D-A=(5-2,;1-1,;1-0)=(3,0,1)

Passo 3

Calculamos o produto vetorial ACtimesAD:
ACtimesAD = i&j&k -2&2&-4 3&0&1 =(2cdot1-(-4)cdot0,;-(-2cdot1-(-4)cdot3),;-2cdot0-2cdot3) =(2,-10,-6)

Passo 4

O volume orientado do tetraedro ABCD é dado pelo produto misto
[AB,AC,AD] =ABcdot(ACtimesAD) =(1,-1,2)cdot(2,-10,-6) =1cdot2+(-1)cdot(-10)+2cdot(-6)=2+10-12=0
Como o produto misto é zero, o volume é zero e os quatro pontos são coplanares.

Passo 5

Para verificar colinearidade, basta checar se todos os vetores que unem um mesmo ponto são proporcionais. Note que
AC=-2,AB,
então A,B,C são colineares. Porém
AD=(3,0,1) não é múltiplo escalar de AB=(1,-1,2),
logo D não pertence à mesma reta que passa por A e B.

Resposta

Eles são coplanares: sim.
Eles são colineares: não.

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