Dado um plano passando pelos pontos não colineares.
Mostre que para qualquer escalar o vetor é um vetor normal a pi (isto é, normal a todo vetor paralelo a pi).
Passo 1
O enunciado diz que há um plano pi determinado por três pontos não colineares A,B,C. Definimos os vetores AB e AC, que ficam contidos em pi. Queremos mostrar que, para qualquer escalar lambda, o vetor
lambdal(ABtimesACr)
é normal ao plano pi, isto é, é perpendicular a todo vetor que seja paralelo a pi.
Passo 2
Lembrando da propriedade do produto vetorial: dados dois vetores u e v, o vetor
utimesv
é ortogonal tanto a u quanto a v. Logo, ABtimesAC é perpendicular a AB e também a AC.
Passo 3
Qualquer vetor w paralelo ao plano pi pode ser escrito como combinação linear de AB e AC:
w=p,AB+q,AC,,
com escalares p,q.
Passo 4
Para verificar a perpendicularidade, calculamos o produto escalar entre lambda(ABtimesAC) e w: