Dado um plano pi passando pelos pontos A, B, C não colineares.
Mostre que para qualquer escalar lambda o vetor lambda A B times A C é um vetor normal a pi (isto é, normal a todo vetor paralelo a pi).

Passo 1

O enunciado diz que há um plano pi determinado por três pontos não colineares A,B,C. Definimos os vetores AB e AC, que ficam contidos em pi. Queremos mostrar que, para qualquer escalar lambda, o vetor
lambdal(ABtimesACr)
é normal ao plano pi, isto é, é perpendicular a todo vetor que seja paralelo a pi.

Passo 2

Lembrando da propriedade do produto vetorial: dados dois vetores u e v, o vetor
utimesv
é ortogonal tanto a u quanto a v. Logo, ABtimesAC é perpendicular a AB e também a AC.

Passo 3

Qualquer vetor w paralelo ao plano pi pode ser escrito como combinação linear de AB e AC:
w=p,AB+q,AC,,
com escalares p,q.

Passo 4

Para verificar a perpendicularidade, calculamos o produto escalar entre lambda(ABtimesAC) e w:
l[lambda(ABtimesAC)r]cdotw =lambdal(ABtimesACr)cdotl(p,AB+q,ACr)
Pelo bilinearidade e pela ortogonalidade do produto vetorial, temos
(ABtimesAC)cdotAB=0, (ABtimesAC)cdotAC=0
Logo
l[lambda(ABtimesAC)r]cdotw =lambdal[punderbrace(ABtimesAC)cdotAB0 +qunderbrace(ABtimesAC)cdotAC0r] =0
Isso mostra que lambda(ABtimesAC) é perpendicular a w.

Resposta

Para qualquer escalar lambda, o vetor
lambdal(ABtimesACr)
é normal ao plano pi.

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