Determine as equações paramétricas do plano:
passando pelos pontos (a, 0,0),(0, b, 0) e (0,0, c)

Passo 1

O enunciado pede as equações paramétricas de um plano em R^3 que passa pelos pontos (a,0,0), (0,b,0) e (0,0,c). Para isso usamos a forma paramétrica de um plano
r(u,v)=r0 + u,v + v,w,
onde r0 é um ponto no plano e v,w são dois vetores não colineares contidos no plano.

Passo 2

Escolhemos como ponto base
r0 = (a,0,0)
Em seguida calculamos vetores diretores tomando as diferenças para os outros pontos:
v = (0,b,0) - (a,0,0) = (-a,b,0), w = (0,0,c) - (a,0,0) = (-a,0,c)

Passo 3

Substituindo em r(u,v)=r0 + u,v + v,w obtemos
r(u,v) = (a,0,0) + u(-a,b,0) + v(-a,0,c)
Separando em componentes, as equações paramétricas ficam
x(u,v) = a - a,u - a,v,
y(u,v) = b,u,
z(u,v) = c,v

Passo 4

Uma reparametrização comum é definir s=u, t=v, de modo que
x = a(1 - s - t), y = b,s, z = c,t, s,tinR,
o que é equivalente à forma anterior.

Resposta

r(u,v) = (a,0,0) + u(-a,b,0) + v(-a,0,c), u,vinR,
ou, em coordenadas,
x = a - a,u - a,v, y = b,u, z = c,v

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