Dado o plano \pi: x=1+t+s, y=2-t+2 s, z=1+t-s, encontre a sua equação geral.

Passo 1

O enunciado nos dá o plano em forma paramétrica
\pi:\quad \begin{cases} x = 1 + t + s,\\\ y = 2 - t + 2s,\\\ z = 1 + t - s, \end{cases}
e pede a sua equação geral Ax + By + Cz + D = 0. Para isso, vamos extrair dois vetores diretores do plano e, em seguida, calcular um vetor normal usando produto vetorial. Depois usamos um ponto no plano para montar a equação.

Passo 2

Os parâmetros t e s geram dois vetores diretores, obtidos derivando cada coordenada em relação a eles:
\vec{v}_t = \frac{\partial(x,y,z)}{\partial t} = (1,\,-1,\;1), \qquad \vec{v}_s = \frac{\partial(x,y,z)}{\partial s} = (1,\;2,\;-1).

Passo 3

O vetor normal \vec{n} é dado pelo produto vetorial \vec{v}_t \times \vec{v}_s. Em forma de determinante:
\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\[6pt] 1 & -1 & 1 \\[3pt] 1 & 2 & -1 \end{vmatrix} = (-1,\,2,\,3).]

Passo 4

Um ponto que pertence ao plano obtém-se tomando t=0 e s=0, logo
P_0 = (1,\,2,\,1).
A equação vetorial do plano é
\vec{n}\cdot\bigl((x,y,z)-P_0\bigr)=0
que, em coordenadas, é
(-1,2,3)\cdot(x-1,\;y-2,\;z-1)=0.

Passo 5

Desenvolvendo o produto escalar:
-1(x-1) + 2(y-2) + 3(z-1) = 0
\Rightarrow -x +1 +2y -4 +3z -3 = 0
\Rightarrow -x +2y +3z -6 = 0
Multiplicando por -1 para ficar mais usual:
x - 2y - 3z + 6 = 0.

Resposta

A equação geral do plano é
x - 2y - 3z + 6 = 0.

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