Determine a equação do plano que passa pelo ponto A(1,0,-1) e é paralelo à reta r : x=1+t, y= 2-t, z=3 t

Passo 1

O enunciado pede a equação de todos os planos que passam por A(1,0,-1) e são paralelos à reta
r:\;x=1+t,\;y=2-t,\;z=3t.
O conteúdo é geometria analítica no espaço: para um plano ser paralelo a uma reta, seu vetor normal deve ser ortogonal ao vetor diretor da reta. Além disso, o plano deve conter o ponto dado.

Passo 2

Do parâmetro da reta vemos que seu vetor diretor é
\mathbf{v} = (1,\,-1,\,3).

Passo 3

A equação geral de um plano qualquer pode ser escrita como
a(x-1) + b(y-0) + c\bigl(z+1\bigr) = 0,
onde \mathbf{n}=(a,b,c) é o vetor normal e o ponto (1,0,-1) garante que o plano passe por A.

Passo 4

Para o plano ser paralelo à reta, basta que \mathbf{n} seja ortogonal a \mathbf{v}, ou seja
\mathbf{n}\cdot \mathbf{v} = a\cdot1 + b\cdot(-1) + c\cdot3 = 0 \quad\Longrightarrow\quad a - b + 3c = 0.

Passo 5

Expandindo a equação do plano do Passo 3 obtemos
ax - a + by + cz + c = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad ax + by + cz + (c - a) = 0.
Aqui o termo d = c - a já incorpora a condição de passar por A.

Passo 6

Impondo a condição do Passo 4 a - b + 3c = 0, a família de planos desejada fica
ax + by + cz + (c - a) = 0 \quad\text{com}\quad a - b + 3c = 0,
onde (a,b,c)\neq(0,0,0).
Uma forma mais explícita é parametrizar (a,b,c). Por exemplo, deixando a=\alpha e c=\beta, da condição a - b +3c=0 vem
b = a + 3c = \alpha + 3\beta.
Substituindo em ax + by + cz + (c - a)=0
\alpha\,x + (\alpha+3\beta)\,y + \beta\,z + (\beta - \alpha) = 0.
Reagrupando, toda equação desse tipo é combinação linear de
x + y - 1 = 0 \quad\text{e}\quad 3y + z + 1 = 0.

Resposta

A família de planos que passa por A(1,0,-1) e é paralela à reta r é dada por
\alpha\,(x+y-1) \;+\;\beta\,(3y+z+1)\;=\;0,
com (\alpha,\beta)\neq(0,0).

Exercícios relacionados