Determine a equação do plano que passa pelo ponto
e é paralelo à reta
:
Passo 1
O enunciado pede a equação de todos os planos que passam por
e são paralelos à reta
O conteúdo é geometria analítica no espaço: para um plano ser paralelo a uma reta, seu vetor normal deve ser ortogonal ao vetor diretor da reta. Além disso, o plano deve conter o ponto dado.
Passo 2
Do parâmetro da reta vemos que seu vetor diretor é
Passo 3
A equação geral de um plano qualquer pode ser escrita como
onde
é o vetor normal e o ponto
garante que o plano passe por
.
Passo 4
Para o plano ser paralelo à reta, basta que
seja ortogonal a
, ou seja
Passo 5
Expandindo a equação do plano do Passo 3 obtemos
Aqui o termo
já incorpora a condição de passar por
.
Passo 6
Impondo a condição do Passo 4
, a família de planos desejada fica
onde
.
Uma forma mais explícita é parametrizar
. Por exemplo, deixando
e
, da condição
vem
Substituindo em
dá
Reagrupando, toda equação desse tipo é combinação linear de
Resposta
A família de planos que passa por
e é paralela à reta
é dada por
com
.