Encontre a equação geral do plano que contém a reta r: x=1+t, y=2-t, z=3 t e passa pelo ponto A(-1,1,1).
Passo 1
O enunciado pede a equação geral do plano que contém a reta \,r: x=1+t,\;y=2-t,\;z=3t\
e que passa pelo ponto \,A(-1,1,1).
Conteúdo: equação de plano em \mathbb{R}^3. Para resolver, vamos encontrar um vetor diretor da reta, um ponto sobre a reta, outro vetor no plano e, em seguida, usar o produto vetorial para obter a normal do plano.
Passo 2
Escolhemos t=0 para obter um ponto P_0 sobre a reta:
P_0=(1,2,0).
O vetor diretor da reta é
\mathbf{v}=(1,\,-1,\,3),
porque \Delta x=1,\;\Delta y=-1,\;\Delta z=3 quando t varia.
Passo 3
Outro vetor contido no plano é aquele que liga A a P_0. Calculamos
\mathbf{w}=P_0 - A = (1-(-1),\,2-1,\,0-1) = (2,\,1,\,-1).
Passo 4
A normal do plano \mathbf{n} é dada pelo produto vetorial \mathbf{v}\times\mathbf{w}. Primeiro, escrevemos fora do texto: