Encontre a equação geral do plano que contém a reta r: x=1+t, y=2-t, z=3 t e passa pelo ponto A(-1,1,1).

Passo 1

O enunciado pede a equação geral do plano que contém a reta \,r: x=1+t,\;y=2-t,\;z=3t\
e que passa pelo ponto \,A(-1,1,1).
Conteúdo: equação de plano em \mathbb{R}^3. Para resolver, vamos encontrar um vetor diretor da reta, um ponto sobre a reta, outro vetor no plano e, em seguida, usar o produto vetorial para obter a normal do plano.

Passo 2

Escolhemos t=0 para obter um ponto P_0 sobre a reta:
P_0=(1,2,0).
O vetor diretor da reta é
\mathbf{v}=(1,\,-1,\,3),
porque \Delta x=1,\;\Delta y=-1,\;\Delta z=3 quando t varia.

Passo 3

Outro vetor contido no plano é aquele que liga A a P_0. Calculamos
\mathbf{w}=P_0 - A = (1-(-1),\,2-1,\,0-1) = (2,\,1,\,-1).

Passo 4

A normal do plano \mathbf{n} é dada pelo produto vetorial \mathbf{v}\times\mathbf{w}. Primeiro, escrevemos fora do texto:
\mathbf{n} = \mathbf{v} \times \mathbf{w} = \det\begin{pmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\[3pt] 1 & -1 & 3 \\[3pt] 2 & 1 & -1 \end{pmatrix} = (-2,\;7,\;3).]

Passo 5

A equação geral do plano com normal \mathbf{n}=(A,B,C) que passa por (x_0,y_0,z_0) é
A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0.
Aqui substituímos \mathbf{n}=(-2,7,3) e o ponto A(-1,1,1):
-2\,(x+1) \;+\; 7\,(y-1) \;+\; 3\,(z-1) \;=\; 0.
Fazendo as distribuições:
-2x - 2 + 7y - 7 + 3z - 3 = 0
ou, agrupando termos semelhantes,
-2x + 7y + 3z - 12 = 0.

Resposta

-2x + 7y + 3z - 12 = 0.

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