Dado o plano pi1: 2 x+5 y+3 z+3=0 e a reta A B, sendo A(1,1,1) e B(2,2,2), determina a equação do plano que passa pelo ponto onde a reta A B fura o plano pi1 e é paralelo ao plano pi2: x-3=0. RESP: pi: x+310=0

Passo 1

O enunciado dá o plano
pi1:2x + 5y + 3z + 3 = 0
e a reta AB determinada pelos pontos
A(1,1,1) e B(2,2,2).
Pede-se o plano que passa pelo ponto onde AB “fura” pi1 e é paralelo ao plano
pi2:x - 3 = 0.
Os conteúdos usados serão a interseção reta–plano e a definição de paralelismo entre planos (iguais normais).

Passo 2

Parametrizamos a reta AB por
(x,y,z) = (1,1,1) + t,(1,1,1) = (1+t,,1+t,,1+t)
Para achar t do ponto de interseção com pi1, substituímos na equação de pi1:
2(1+t) + 5(1+t) + 3(1+t) + 3 = 0 Longrightarrow 10(1+t) + 3 = 0 Longrightarrow 10t + 13 = 0 Longrightarrow t = -tfrac1310

Passo 3

O ponto de interseção P é
P = l(1 - tfrac1310,,1 - tfrac1310,,1 - tfrac1310r) = l(-tfrac310,,-tfrac310,,-tfrac310r)

Passo 4

Um plano paralelo a pi2:x-3=0 tem o mesmo vetor normal (1,0,0).
Logo, a forma geral é
x + D = 0,
onde D é uma constante a determinar.

Passo 5

Como o plano deve conter Pl(-tfrac310,-tfrac310,-tfrac310r), basta satisfazer
-tfrac310 + D = 0 Longrightarrow D = tfrac310

Resposta

pi: x + tfrac310 = 0

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