Determine uma equação da reta t, simétrica de r: x-3=y-22=z-1, em relação ao plano pi: 2 x+y-z+2=0. RESP: s: x-1-7=y+2=z-22

Passo 1

O enunciado pede a reta t que é a reflexão da reta
r:;x-3=y-22=z-1
em relação ao plano
pi:;2x+y-z+2=0
O conteúdo é reflexão de reta em plano, que faremos refletindo um ponto da reta e seu vetor direção.

Passo 2

Parametrizamos r escolhendo o parâmetro t de modo que
(x,y,z)=(3,2,0)+t,(1,2,-1)
Dessa forma, um ponto qualquer de r é P(t)=(3+t,;2+2t,;-t) e o vetor direção é
v=(1,2,-1)

Passo 3

O plano pi tem normal n=(2,1,-1) e equação 2x+y-z+2=0.
Para refletir um ponto p=(xp,yp,zp) em pi usamos
p'= p -2,2xp+1,yp+(-1)zp+22^2+1^2+(-1)^2,(2,1,-1),
e para refletir um vetor v usamos
v'= v -2, vcdot n| n|^2, n

Passo 4

Escolhemos t=1 para obter o ponto
P(1)=(4,4,-1)
Calculamos 2cdot4+1cdot4+(-1)cdot(-1)+2=15 e | n|^2=6, então
P'=l(4,4,-1r) -2cdot156,(2,1,-1) =(4,4,-1)-5,(2,1,-1) =(-6,-1,4)

Passo 5

Agora refletimos v=(1,2,-1). Temos vcdot n=5, logo
v'=(1,2,-1) -2cdot56,(2,1,-1) =(-7/3,1/3,2/3)
e, multiplicando por 3, podemos usar
v'=(-7,1,2)
como vetor direção de t.

Passo 6

A reta refletida s passa por P'=(-6,-1,4) e tem direção v'=(-7,1,2). Para simplificar o ponto usamos um parâmetro que leve P' ao ponto
Q= P'- v'=(-6,-1,4)-(-7,1,2)=(1,-2,2).
Assim a forma simétrica fica
x-1-7=y+2=z-22

Resposta

s:;dfracx-1-7=y+2=dfracz-22

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