Determinar a equação simétrica da reta r, que passa pelo ponto M(2,-4,-1), e pelo meio do segmento de reta s:l3 x+4 y+5 z-26=0 3 x-3 y-2 z-5=0,compreendido entre os planos pi1: 5 x+3 y-4 z+11=0 e pi2: 5 x+3 y-4 z-41=0. RESP: r: x-22=y+55=z+13

Passo 1

O enunciado pede a equação simétrica da reta
e pelo ponto médio do segmento de reta obtido ao intersectar a reta
çã
com os planos
Conteúdo necessário: parametrizar e nas interseções com e , calcular o ponto médio , depois vetor direção de e converter para forma simétrica.

Passo 2

Parametrizamos
tomando obtemos
Logo a reta é

Passo 3

Para achar A=scappi1, substituímos na equação de pi1:5x+3y-4z+11=0:
514-t3+3(3-t)-4t+11=0
Multiplicando por 3 e simplificando dá 97-26t=0, logo t=5. Assim
Al(xA,yA,zAr)=l(3,,-2,,5r)
Para B=scappi2, usamos pi2:5x+3y-4z-41=0. O mesmo procedimento leva a t=-1 e
Bl(xB,yB,zBr)=l(5,,4,,-1r)

Passo 4

O ponto médio P de AB é
P=l(tfrac3+52,,tfrac-2+42,,tfrac5+(-1)2r) =(4,,1,,2)

Passo 5

O vetor direção de r é
MP=(4-2,;1-(-4),;2-(-1))=(2,5,3)
Assim a forma simétrica de r passando por M(2,-4,-1) com direção (2,5,3) é
x-22=y-(-4)5=z-(-1)3

Resposta

x-22=y+45=z+13

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