Nos Exercícios 1 a 4, determine se os vetores são linearmente indepen-dentes. Justifique cada resposta. ,[r7 2 -6],[r9 4 -8]
Passo 1
Temos três vetores em R^3: v1=(5,0,0), v2=(7,2,-6) e v3=(9,4,-8). O conteúdo aqui é independência linear: vamos precisar ver se a única solução da combinação homogênea é a trivial.
Passo 2
Escrevemos a combinação linear igual a zero: c1v1 + c2v2 + c3v3 = 0 Isso gera o sistema de equações: 5c1 + 7c2 + 9c3 = 0,
2c2 + 4c3 = 0,
-6c2 - 8c3 = 0
Passo 3
Da segunda equação temos 2c2 + 4c3 = 0, logo c2 = -2c3. Substituindo na terceira: -6(-2c3) - 8c3 = 0 implies 12c3 - 8c3 = 4c3 = 0 implies c3 = 0 e então c2 = 0.
Passo 4
Substituindo c2 = c3 = 0 na primeira equação: 5c1 = 0 implies c1 = 0 Como a única solução é c1 = c2 = c3 = 0, os vetores são linearmente independentes.
Resposta
Os vetores são linearmente independentes, pois a combinação homogênea leva apenas à solução trivial c1 = c2 = c3 = 0.