Questão 4: (12 pts) Sejam alpha=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) a base canônica do R^3 e beta=(1,0,-1),(2,-1,0),(-3,1,2) outra base do R^3.
Seja T: R^3 R^3 o operador linear tal que [T]beta^alpha=[rrr1 & 1 & 1 0 & 1 & 4 -1 & 0 & 2].
(4-a) Obtenha T(x, y, z).
(COLOQUE A RESPOSTA ABAIXO DO QUADRO DE RESPOSTAS, NA PRIMEIRA PÁGINA).

Passo 1

O enunciado dá duas bases de R^3: a canônica
alpha=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) e
beta=(1,0,-1),(2,-1,0),(-3,1,2). O operador linear
T satisfaz
[T]beta^alpha = 1 & 1 & 1 0 & 1 & 4 -1 & 0 & 2 ,
onde as colunas são as imagens, em coordenadas da base alpha, dos vetores de beta. Precisamos achar a fórmula de
T(x,y,z) no sistema de coordenadas canônico.

Passo 2

Se (x,y,z) é um vetor em coordenadas canônicas, escrevemo-lo na base beta como
(x,y,z)=c1(1,0,-1)+c2(2,-1,0)+c3(-3,1,2)
Isso gera o sistema
c1+2c2-3c3=x, -,c2+c3=y, -,c1+2c3=z

Passo 3

Resolvendo o sistema para c1,c2,c3:
Da segunda equação temos
c2=c3-y
Da terceira,
c1=2c3-z
Substituindo na primeira:
(2c3-z)+2(c3-y)-3c3=x ;Longrightarrow; c3-z-2y=x ;Longrightarrow; c3=x+2y+z
Logo
c2=x+2y+z-y=x+y+z, c1=2(x+2y+z)-z=2x+4y+z

Passo 4

Em seguida . Fazendo o produto
e substituindo
, , , obtemos

Resposta

T(x,y,z)=(4x+7y+3z,;5x+9y+5z,;z)

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