Questão 4: (12 pts) Sejam a base canônica do outra base do .
Seja o operador linear tal que .
(4-a) Obtenha T(x, y, z).
(COLOQUE A RESPOSTA ABAIXO DO QUADRO DE RESPOSTAS, NA PRIMEIRA PÁGINA).
Passo 1
O enunciado dá duas bases de R^3: a canônica alpha=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) e beta=(1,0,-1),(2,-1,0),(-3,1,2). O operador linear T satisfaz
[T]beta^alpha = 1 & 1 & 1 0 & 1 & 4 -1 & 0 & 2 ,
onde as colunas são as imagens, em coordenadas da base alpha, dos vetores de beta. Precisamos achar a fórmula de T(x,y,z) no sistema de coordenadas canônico.
Passo 2
Se (x,y,z) é um vetor em coordenadas canônicas, escrevemo-lo na base beta como
(x,y,z)=c1(1,0,-1)+c2(2,-1,0)+c3(-3,1,2)
Isso gera o sistema
c1+2c2-3c3=x, -,c2+c3=y, -,c1+2c3=z
Passo 3
Resolvendo o sistema para c1,c2,c3:
Da segunda equação temos