Verifique quais operadores são inversíveis
T(x, y)=(5 x+2 y,-4 x-y)

Passo 1

O enunciado nos dá o operador linear
Tcolon R^2toR^2, T(x,y) = (5x + 2y,,-4x - y)
e pede para verificar se ele é inversível. Para isso, vamos representar T por uma matriz, calcular seu determinante e, se for diferente de zero, encontrar a matriz inversa.

Passo 2

Para escrever T em forma matricial, observamos que
T(x,y) = 5 & 2 -4 & -1 x y
Chame
A = 5 & 2 -4 & -1

Passo 3

O operador T é inversível exatamente quando det A neq 0. Calculamos
det A = 5cdot(-1) - 2cdot(-4) = -5 + 8 = 3
Como det A = 3 neq 0, concluímos que A (e portanto T) é inversível.

Passo 4

Para obter a inversa usamos
onde a matriz adjunta é
(trocamos os elementos da diagonal principal, mudamos o sinal dos outros e transpondo). Logo
Em coordenadas, para temos

Resposta

T é inversível e
T^-1(u,v)=l(-tfracu+2v3,;tfrac4u+5v3r)

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