Dado plano
, encontre o vetor unitário normal à superfície, na direção positiva em relação à origem.
Passo 1
O enunciado dá o plano
e pede para encontrar o vetor unitário normal à superfície, “na direção positiva em relação à origem”. Informações relevantes fornecidas:
- A equação do plano é
. - Queremos um vetor unitário (ou seja, de módulo
) que seja normal ao plano. - Devemos escolher o sentido do vetor normal que seja o “positivo em relação à origem” (vamos interpretar isso de forma precisa nos passos seguintes).
Passo 2
O que significa ser um vetor normal ao plano? Vou explicar bem devagar: para um plano dado por
, o vetor
é um vetor normal ao plano. Isso acontece porque o produto escalar entre
e qualquer vetor tangente ao plano é zero — geometricamente, as coeficientes de
indicam a direção em que a função linear
cresce, e os pontos do plano mantêm esse valor constante em
. Então, pelo enunciado, um vetor normal ao nosso plano é
.
Passo 3
Agora transformamos esse vetor normal em um vetor unitário. Primeiro precisamos do módulo (norma) do vetor
. A fórmula da norma de um vetor
é
Aplicando ao nosso vetor:
Passo 4
O vetor unitário na direção de
é obtido dividindo-se o vetor pelo seu módulo. Logo
Mas ainda falta garantir que escolhemos o sentido “positivo em relação à origem”.
Passo 5
Como decidir o sentido “positivo em relação à origem”? Um jeito direto: para qualquer ponto
que esteja no plano temos
Como esse produto escalar vale
para qualquer ponto do plano, o vetor
forma um ângulo agudo com o vetor posição de qualquer ponto do plano (vetor do origem ao ponto). Ou seja,
aponta “para o mesmo lado” dos vetores posição dos pontos do plano, logo é o sentido positivo em relação à origem. O vetor oposto
teria produto escalar negativo e seria o sentido contrário.
Passo 6
Portanto o vetor unitário normal ao plano, no sentido positivo em relação à origem, é exatamente o vetor unitário na direção de
que calculamos antes:
Se quiser conferir rápido: calcule o módulo desse vetor e verá que dá
, e o produto escalar com qualquer ponto do plano é positivo (porque equivale a
).