Dado plano 4 x+3 y+2 z=12, encontre o vetor unitário normal à superfície, na direção positiva em relação à origem.

Passo 1

O enunciado dá o plano \;4x+3y+2z=12\; e pede para encontrar o vetor unitário normal à superfície, “na direção positiva em relação à origem”. Informações relevantes fornecidas:
  • A equação do plano é \;4x+3y+2z=12\;.
  • Queremos um vetor unitário (ou seja, de módulo 1) que seja normal ao plano.
  • Devemos escolher o sentido do vetor normal que seja o “positivo em relação à origem” (vamos interpretar isso de forma precisa nos passos seguintes).

Passo 2

O que significa ser um vetor normal ao plano? Vou explicar bem devagar: para um plano dado por \;ax+by+cz=d\;, o vetor \;(a,b,c)\; é um vetor normal ao plano. Isso acontece porque o produto escalar entre \;(a,b,c)\; e qualquer vetor tangente ao plano é zero — geometricamente, as coeficientes de x,y,z indicam a direção em que a função linear ax+by+cz cresce, e os pontos do plano mantêm esse valor constante em d. Então, pelo enunciado, um vetor normal ao nosso plano é \;(4,3,2).

Passo 3

Agora transformamos esse vetor normal em um vetor unitário. Primeiro precisamos do módulo (norma) do vetor \;(4,3,2). A fórmula da norma de um vetor \;(u_1,u_2,u_3)\; é
\| (u_1,u_2,u_3) \| = \sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}.
Aplicando ao nosso vetor:
\| (4,3,2) \| = \sqrt{4^2+3^2+2^2} = \sqrt{16+9+4} = \sqrt{29}.

Passo 4

O vetor unitário na direção de \;(4,3,2)\; é obtido dividindo-se o vetor pelo seu módulo. Logo
\hat{n} = \frac{1}{\sqrt{29}}(4,3,2) = \left(\frac{4}{\sqrt{29}},\frac{3}{\sqrt{29}},\frac{2}{\sqrt{29}}\right).
Mas ainda falta garantir que escolhemos o sentido “positivo em relação à origem”.

Passo 5

Como decidir o sentido “positivo em relação à origem”? Um jeito direto: para qualquer ponto (x,y,z) que esteja no plano temos
(4,3,2)\cdot(x,y,z) = 4x+3y+2z = 12.
Como esse produto escalar vale \;12>0\; para qualquer ponto do plano, o vetor (4,3,2) forma um ângulo agudo com o vetor posição de qualquer ponto do plano (vetor do origem ao ponto). Ou seja, (4,3,2) aponta “para o mesmo lado” dos vetores posição dos pontos do plano, logo é o sentido positivo em relação à origem. O vetor oposto \;(-4,-3,-2)\; teria produto escalar negativo e seria o sentido contrário.

Passo 6

Portanto o vetor unitário normal ao plano, no sentido positivo em relação à origem, é exatamente o vetor unitário na direção de (4,3,2) que calculamos antes:
\boxed{\hat{n} = \left(\dfrac{4}{\sqrt{29}},\dfrac{3}{\sqrt{29}},\dfrac{2}{\sqrt{29}}\right).}
Se quiser conferir rápido: calcule o módulo desse vetor e verá que dá 1, e o produto escalar com qualquer ponto do plano é positivo (porque equivale a 12/\sqrt{29}>0).

Resposta

\left(\dfrac{4}{\sqrt{29}},\dfrac{3}{\sqrt{29}},\dfrac{2}{\sqrt{29}}\right)

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