Encontre o vetor unitário do vetor dirigido ao ponto ( 0,0, h ) partindo de um ponto arbitário, no plano z=-2.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o vetor unitário correspondente ao vetor que vai de um ponto qualquer do plano z=-2 até o ponto (0,0,h). Informações dadas:
  • Ponto final: (0,0,h).
  • Ponto inicial: um ponto arbitrário no plano z=-2. Vou representá-lo por (x,y,-2), onde x e y são coordenadas quaisquer (podem ser quaisquer números reais).
  • Objetivo: escrever o vetor unitário que tem direção do ponto inicial (x,y,-2) para o ponto final (0,0,h).

Passo 2

Vamos escrever o vetor que vai do ponto inicial (x,y,-2) para o ponto final (0,0,h). A regra é: subtrair coordenadas do ponto inicial das do ponto final. Assim,
\vec{v} = (0-x,\;0-y,\;h-(-2)).
Simplificando as componentes:
\vec{v} = (-x,\;-y,\;h+2).

Passo 3

Explico o que é vetor unitário: dado um vetor \vec{v}, o vetor unitário \hat{u} na direção de \vec{v} é
\hat{u}=\frac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|},
onde \|\vec{v}\| é o comprimento (norma) de \vec{v}. Isso normaliza o vetor, isto é, transforma-o em um vetor com comprimento 1 mantendo a direção.

Passo 4

Calcular a norma de \vec{v}=(-x,-y,h+2). A norma em \mathbb{R}^3 é a raiz quadrada da soma dos quadrados das componentes:
\|\vec{v}\|=\sqrt{(-x)^2+(-y)^2+(h+2)^2}.
Como (-x)^2=x^2 e (-y)^2=y^2, obtemos
\|\vec{v}\|=\sqrt{x^2+y^2+(h+2)^2}.

Passo 5

Agora dividimos cada componente de \vec{v} pela norma para obter o vetor unitário:
\hat{u}=\frac{(-x,\,-y,\,h+2)}{\sqrt{x^2+y^2+(h+2)^2}}.
Interpretação das variáveis: x,y são as coordenadas do ponto inicial no plano z=-2, e h é a coordenada z do ponto final; a expressão acima dá o vetor unitário em termos de x,y,h.

Passo 6

Observação importante (caso especial): se x=0, y=0 e h=-2, então o ponto inicial coincide com o ponto final e \vec{v}=\vec{0}. Nesse caso \|\vec{v}\|=0 e não existe vetor unitário (não se pode dividir o vetor zero pela sua norma). Fora desse caso, a fórmula é válida.

Passo 7

Exemplo numérico rápido para fixar (só pra ver como usar na prova): suponha ponto inicial (1,2,-2) e h=3. Então \vec{v}=(-1,-2,5) e
\|\vec{v}\|=\sqrt{1+4+25}=\sqrt{30},
portanto o vetor unitário é
\hat{u}=\left(-\frac{1}{\sqrt{30}},\;-\,\frac{2}{\sqrt{30}},\;\frac{5}{\sqrt{30}}\right).
Isso mostra concretamente como aplicar a fórmula sem calculadora (deixas a raiz em forma radical).

Resposta

\displaystyle \frac{(-x,-y,h+2)}{\sqrt{x^2+y^2+(h+2)^2}}

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