Dados os vetores \vec{A}=\hat{i}-\hat{j}, \vec{B}=2 \hat{k} e \vec{C}=-\hat{i}+3 \hat{j}, calcule \vec{A} \bullet \vec{B} \times \vec{C}. Examine outras variações desse produto escalar tripo.

Passo 1

O enunciado dá três vetores e pede para calcular o produto escalar triplo e examinar variações dele. Dados:
\vec{A}=\hat{i}-\hat{j},
\vec{B}=2\hat{k},
\vec{C}=-\hat{i}+3\hat{j}.
O que se pede explicitamente:
  1. Calcular \vec{A}\cdot(\vec{B}\times\vec{C}).
  2. Examinar outras variações (por exemplo permutações cíclicas e trocas de ordem) e interpretar o resultado.

Passo 2

O que é o produto escalar triplo e como vamos calculá‑lo (conceito passo a passo).
  • Definição: o produto escalar triplo de \vec{A},\vec{B},\vec{C} é
\vec{A}\cdot(\vec{B}\times\vec{C}),
um número real (escalar).
  • Propriedade muito útil: esse produto é igual ao determinante formado pelas componentes dos vetores (colocados como linhas ou como colunas). Mais precisamente,
\vec{A}\cdot(\vec{B}\times\vec{C}) = \det\begin{pmatrix} A_x & A_y & A_z\\[4pt] B_x & B_y & B_z\\[4pt] C_x & C_y & C_z \end{pmatrix}.
Aqui A_x,A_y,A_z são as componentes de \vec{A} nas direções \hat{i},\hat{j},\hat{k}, idem para os outros vetores.
  • Interpretação geométrica importante: o valor absoluto |\vec{A}\cdot(\vec{B}\times\vec{C})| dá o volume do paralelepípedo determinado por \vec{A},\vec{B},\vec{C}. O sinal (positivo ou negativo) indica a orientação (direita/banho).]

Passo 3

Primeiro passo prático: escrever as componentes numéricas de cada vetor (peguei essas componentes do enunciado).
\vec{A}=(1,\,-1,\,0),
\vec{B}=(0,\,0,\,2),
\vec{C}=(-1,\,3,\,0).
Agora aplico a fórmula do determinante:
\vec{A}\cdot(\vec{B}\times\vec{C}) = \det\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 2\\[4pt] -1 & 3 & 0 \end{pmatrix}.
Vou calcular o determinante com a fórmula padrão para 3\times3:
\det = a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32}) - a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31}) + a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31}).
Substituindo a_{ij} da nossa matriz:
a_{11}=1,\quad a_{12}=-1,\quad a_{13}=0,
a_{21}=0,\quad a_{22}=0,\quad a_{23}=2,
a_{31}=-1,\quad a_{32}=3,\quad a_{33}=0.
Calculo termo a termo:
a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32}) = 1\cdot(0\cdot0 - 2\cdot3) = 1\cdot(-6) = -6,
- a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31}) = -(-1)\cdot(0\cdot0 - 2\cdot(-1)) = 1\cdot(0 - (-2)) = 1\cdot 2 = 2,
a_{13}(\cdots) = 0\cdot(\cdots) = 0.
Somando:
\det = -6 + 2 + 0 = -4.
Portanto,
\vec{A}\cdot(\vec{B}\times\vec{C}) = -4.]

Passo 4

Verificação alternativa (para você saber duas maneiras de fazer na prova): computar \vec{B}\times\vec{C} e depois fazer o produto escalar com \vec{A}.
Calcular \vec{B}\times\vec{C} usando o determinante com \hat{i},\hat{j},\hat{k}:
\vec{B}\times\vec{C} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\[4pt] 0 & 0 & 2\\[4pt] -1 & 3 & 0 \end{vmatrix}.
Componentes:
\hat{i}\cdot(0\cdot0 - 2\cdot3) - \hat{j}\cdot(0\cdot0 - 2\cdot(-1)) + \hat{k}\cdot(0\cdot3 - 0\cdot(-1)).
Isso dá:
\vec{B}\times\vec{C} = -6\hat{i} -2\hat{j} + 0\hat{k} = (-6,\,-2,\,0).
Agora \vec{A}\cdot(\vec{B}\times\vec{C}):
(1,\,-1,\,0)\cdot(-6,\,-2,\,0) = 1\cdot(-6) + (-1)\cdot(-2) + 0\cdot0 = -6 + 2 = -4,
mesmo resultado — ótimo, consistência confirmada.]

Passo 5

Examinando variações e propriedades importantes (coisas que caem em prova e você tem que saber):
  • Permutações cíclicas preservam o valor:
\vec{B}\cdot(\vec{C}\times\vec{A}) = \vec{C}\cdot(\vec{A}\times\vec{B}) = \vec{A}\cdot(\vec{B}\times\vec{C}) = -4.
Isto decorre da propriedade do determinante: rotacionar as linhas (ou colunas) ciclicamente não muda o determinante.
  • Trocar a ordem de dois vetores muda o sinal:
\vec{A}\cdot(\vec{C}\times\vec{B}) = -\,\vec{A}\cdot(\vec{B}\times\vec{C}) = 4.
Isto porque \vec{C}\times\vec{B} = -(\vec{B}\times\vec{C}).
  • Consequência geométrica: o volume do paralelepípedo determinado por \vec{A},\vec{B},\vec{C} é
\text{Volume} = \big|\vec{A}\cdot(\vec{B}\times\vec{C})\big| = |{-4}| = 4.
  • Caso especial útil na prova: se o produto escalar triplo for zero, os vetores são coplanares (volume zero). Exemplo rápido (fora do enunciado): vetores (1,0,0),(2,0,0),(0,1,0) têm produto triplo zero porque dois estão na mesma direção.

Passo 6

Resumo prático para a prova (como aplicar rápido):
  • Método 1 (rápido quando há zeros): calcular o determinante 3×3 com as componentes como linhas.
  • Método 2 (bom para checar): calcular \vec{B}\times\vec{C} por determinante e depois \vec{A}\cdot(\cdot).
  • Lembre: permutações cíclicas mantêm o valor; trocar dois vetores inverte o sinal; o módulo dá volume.

Resposta

\vec{A}\cdot(\vec{B}\times\vec{C}) = -4
\vec{B}\cdot(\vec{C}\times\vec{A}) = -4
\vec{C}\cdot(\vec{A}\times\vec{B}) = -4
\vec{A}\cdot(\vec{C}\times\vec{B}) = 4
\text{Volume do paralelepípedo} = 4í

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