Dados os vetores \vec{A}=\hat{i}-\hat{j}, \vec{B}=2 \hat{k} e \vec{C}=-\hat{i}+3 \hat{j}, calcule \vec{A} \bullet \vec{B} \times \vec{C}. Examine outras variações desse produto escalar tripo.
Passo 1
O enunciado dá três vetores e pede para calcular o produto escalar triplo e examinar variações dele. Dados:
\vec{A}=\hat{i}-\hat{j},
\vec{B}=2\hat{k},
\vec{C}=-\hat{i}+3\hat{j}.
O que se pede explicitamente:
Calcular \vec{A}\cdot(\vec{B}\times\vec{C}).
Examinar outras variações (por exemplo permutações cíclicas e trocas de ordem) e interpretar o resultado.
Passo 2
O que é o produto escalar triplo e como vamos calculá‑lo (conceito passo a passo).
Definição: o produto escalar triplo de \vec{A},\vec{B},\vec{C} é
\vec{A}\cdot(\vec{B}\times\vec{C}),
um número real (escalar).
Propriedade muito útil: esse produto é igual ao determinante formado pelas componentes dos vetores (colocados como linhas ou como colunas). Mais precisamente,
Aqui A_x,A_y,A_z são as componentes de \vec{A} nas direções \hat{i},\hat{j},\hat{k}, idem para os outros vetores.
Interpretação geométrica importante: o valor absoluto |\vec{A}\cdot(\vec{B}\times\vec{C})| dá o volume do paralelepípedo determinado por \vec{A},\vec{B},\vec{C}. O sinal (positivo ou negativo) indica a orientação (direita/banho).]
Passo 3
Primeiro passo prático: escrever as componentes numéricas de cada vetor (peguei essas componentes do enunciado).
Caso especial útil na prova: se o produto escalar triplo for zero, os vetores são coplanares (volume zero). Exemplo rápido (fora do enunciado): vetores (1,0,0),(2,0,0),(0,1,0) têm produto triplo zero porque dois estão na mesma direção.
Passo 6
Resumo prático para a prova (como aplicar rápido):
Método 1 (rápido quando há zeros): calcular o determinante 3×3 com as componentes como linhas.
Método 2 (bom para checar): calcular \vec{B}\times\vec{C} por determinante e depois \vec{A}\cdot(\cdot).
Lembre: permutações cíclicas mantêm o valor; trocar dois vetores inverte o sinal; o módulo dá volume.