Dado o vetor em coordenadas retangulares
, prove que, em coordenadas cilíndricas, ele dado por:
.
Passo 1
O enunciado dá o vetor em coordenadas retangulares
e pede que eu mostre que, em coordenadas cilíndricas, ele é
.
Informações relevantes fornecidas:
- A forma cartesiana do vetor:
. - Deseja-se a mesma quantidade escrita na base cilíndrica
. - Não há outras restrições; posso usar as relações usuais entre coordenadas cartesianas e cilíndricas.
Passo 2
Vou lembrar (e explicar) as relações entre coordenadas cartesianas
e cilíndricas
, porque elas são a base da transformação.
Definições:
Aqui
é a distância do ponto até o eixo
(ou seja
) e
é o ângulo medido a partir do eixo
no plano
. Estas fórmulas são diretas da geometria do círculo.
Também preciso da relação entre os versores (vetores unitários). Explico:
aponta radialmente para fora no plano
e
é ortogonal a
, na direção do aumento de
. As relações são
Podemos inverter essas duas primeiras para escrever
e
em função de
e
:
Essas inversões vêm de resolver o sistema linear formado pelas duas primeiras expressões; são fórmulas padrão e úteis para projetar componentes cartesianas sobre a base cilíndrica.
Passo 3
Agora vou reescrever as componentes escalares do vetor em termos de
e
. Primeiro note que a raiz
é exatamente
. Então a terceira componente fica mais simples:
Usando
e
também temos:
Vou usar essas substituições em seguida.
Passo 4
Substituo
e
nas componentes cartesianas do vetor. A parte no plano
é
Substituindo
e
isso vira
A componente
fica, usando
,
Logo, antes de trocar a base, temos
Passo 5
Agora converto a combinação
para a base
usando as expressões invertidas de
e
do Passo 2:
Multiplico e somo com os coeficientes
e
:
Passo 6
Faço as operações termo a termo (explico cada passo para não perder):
- Coeficiente de
: . Esse valor é a identidade trigonométrica . - Coeficiente de
: . Esse valor é a identidade trigonométrica .
Portanto
Passo 7
Volto à expressão do Passo 4, que era
e substituo o resultado do Passo 6 para a parte no plano:
Agora é só agrupar: cada termo tem fator comum
, então posso escrever de forma compacta