Dado o vetor em coordenadas retangulares \vec{A}=y \hat{i}+x \hat{j}+\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \hat{k}, prove que, em coordenadas cilíndricas, ele dado por: \vec{A}=\rho\left(\hat{\rho} \sin 2 \varphi+\hat{\varphi} \cos 2 \varphi+\hat{k} \cos ^{2} \varphi\right).

Passo 1

O enunciado dá o vetor em coordenadas retangulares \vec{A}=y\,\hat{i}+x\,\hat{j}+\dfrac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\,\hat{k} e pede que eu mostre que, em coordenadas cilíndricas, ele é \vec{A}=\rho\bigl(\hat{\rho}\sin 2\varphi+\hat{\varphi}\cos 2\varphi+\hat{k}\cos^{2}\varphi\bigr).
Informações relevantes fornecidas:
  • A forma cartesiana do vetor: \vec{A}=y\,\hat{i}+x\,\hat{j}+\dfrac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\,\hat{k}.
  • Deseja-se a mesma quantidade escrita na base cilíndrica \{\hat{\rho},\hat{\varphi},\hat{k}\}.
  • Não há outras restrições; posso usar as relações usuais entre coordenadas cartesianas e cilíndricas.

Passo 2

Vou lembrar (e explicar) as relações entre coordenadas cartesianas (x,y,z) e cilíndricas (\rho,\varphi,z), porque elas são a base da transformação.
Definições:
x=\rho\cos\varphi,\qquad y=\rho\sin\varphi,\qquad z=z.
Aqui \rho é a distância do ponto até o eixo z (ou seja \rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}}) e \varphi é o ângulo medido a partir do eixo x no plano xy. Estas fórmulas são diretas da geometria do círculo.
Também preciso da relação entre os versores (vetores unitários). Explico: \hat{\rho} aponta radialmente para fora no plano xy e \hat{\varphi} é ortogonal a \hat{\rho}, na direção do aumento de \varphi. As relações são
\hat{\rho}=\cos\varphi\,\hat{i}+\sin\varphi\,\hat{j},
\hat{\varphi}=-\sin\varphi\,\hat{i}+\cos\varphi\,\hat{j},
\hat{k}=\hat{k}.
Podemos inverter essas duas primeiras para escrever \hat{i} e \hat{j} em função de \hat{\rho} e \hat{\varphi}:
\hat{i}=\cos\varphi\,\hat{\rho}-\sin\varphi\,\hat{\varphi},
\hat{j}=\sin\varphi\,\hat{\rho}+\cos\varphi\,\hat{\varphi}.
Essas inversões vêm de resolver o sistema linear formado pelas duas primeiras expressões; são fórmulas padrão e úteis para projetar componentes cartesianas sobre a base cilíndrica.

Passo 3

Agora vou reescrever as componentes escalares do vetor em termos de \rho e \varphi. Primeiro note que a raiz \sqrt{x^{2}+y^{2}} é exatamente \rho. Então a terceira componente fica mais simples:
\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=\frac{x^{2}}{\rho}.
Usando x=\rho\cos\varphi e y=\rho\sin\varphi também temos:
x=\rho\cos\varphi,\qquad y=\rho\sin\varphi.
Vou usar essas substituições em seguida.

Passo 4

Substituo x e y nas componentes cartesianas do vetor. A parte no plano xy é
y\,\hat{i}+x\,\hat{j}.
Substituindo x=\rho\cos\varphi e y=\rho\sin\varphi isso vira
\rho\sin\varphi\,\hat{i}+\rho\cos\varphi\,\hat{j}=\rho\bigl(\sin\varphi\,\hat{i}+\cos\varphi\,\hat{j}\bigr).
A componente k fica, usando x=\rho\cos\varphi,
\frac{x^{2}}{\rho}=\frac{(\rho\cos\varphi)^{2}}{\rho}=\rho\cos^{2}\varphi.
Logo, antes de trocar a base, temos
\vec{A}=\rho\bigl(\sin\varphi\,\hat{i}+\cos\varphi\,\hat{j}\bigr)+\rho\cos^{2}\varphi\,\hat{k}.

Passo 5

Agora converto a combinação \sin\varphi\,\hat{i}+\cos\varphi\,\hat{j} para a base \{\hat{\rho},\hat{\varphi}\} usando as expressões invertidas de \hat{i} e \hat{j} do Passo 2:
\hat{i}=\cos\varphi\,\hat{\rho}-\sin\varphi\,\hat{\varphi},
\hat{j}=\sin\varphi\,\hat{\rho}+\cos\varphi\,\hat{\varphi}.
Multiplico e somo com os coeficientes \sin\varphi e \cos\varphi:
\sin\varphi\,\hat{i}+\cos\varphi\,\hat{j} =\sin\varphi\bigl(\cos\varphi\,\hat{\rho}-\sin\varphi\,\hat{\varphi}\bigr) +\cos\varphi\bigl(\sin\varphi\,\hat{\rho}+\cos\varphi\,\hat{\varphi}\bigr).

Passo 6

Faço as operações termo a termo (explico cada passo para não perder):
  • Coeficiente de \hat{\rho}: \sin\varphi\cos\varphi+\cos\varphi\sin\varphi=2\sin\varphi\cos\varphi. Esse valor é a identidade trigonométrica \sin 2\varphi=2\sin\varphi\cos\varphi.
  • Coeficiente de \hat{\varphi}: -\sin^{2}\varphi+\cos^{2}\varphi=\cos^{2}\varphi-\sin^{2}\varphi. Esse valor é a identidade trigonométrica \cos 2\varphi=\cos^{2}\varphi-\sin^{2}\varphi.
Portanto
\sin\varphi\,\hat{i}+\cos\varphi\,\hat{j} =(2\sin\varphi\cos\varphi)\,\hat{\rho}+(\cos^{2}\varphi-\sin^{2}\varphi)\,\hat{\varphi} =\sin 2\varphi\,\hat{\rho}+\cos 2\varphi\,\hat{\varphi}.

Passo 7

Volto à expressão do Passo 4, que era
\vec{A}=\rho\bigl(\sin\varphi\,\hat{i}+\cos\varphi\,\hat{j}\bigr)+\rho\cos^{2}\varphi\,\hat{k},
e substituo o resultado do Passo 6 para a parte no plano:
\vec{A}=\rho\bigl(\sin 2\varphi\,\hat{\rho}+\cos 2\varphi\,\hat{\varphi}\bigr)+\rho\cos^{2}\varphi\,\hat{k}.
Agora é só agrupar: cada termo tem fator comum \rho, então posso escrever de forma compacta
\vec{A}=\rho\bigl(\hat{\rho}\sin 2\varphi+\hat{\varphi}\cos 2\varphi+\hat{k}\cos^{2}\varphi\bigr).

Resposta

\displaystyle \vec{A}=\rho\bigl(\hat{\rho}\sin 2\varphi+\hat{\varphi}\cos 2\varphi+\hat{k}\cos^{2}\varphi\bigr)

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