Dados os vetores
e
, mostre que
é perpendicular, simultaneamente, a
e
.
Passo 1
O enunciado dá três vetores e pede para mostrar que
é perpendicular, ao mesmo tempo, a
e a
.
Informações dadas:
O que precisamos provar: que
é perpendicular a
e que
é perpendicular a
(ou seja, simultaneamente às duas).
Passo 2
Conceito que vamos usar (explicadinho): dois vetores são perpendiculares se o produto escalar entre eles for zero. O produto escalar em coordenadas (componentes) no espaço 3D é dado por
onde
são as componentes do vetor
nas direções
respectivamente, e
são as componentes do vetor
. Geometricamente vale também
onde
é o ângulo entre os vetores; se o produto escalar for zero, então
e
, isto é, são perpendiculares.
Passo 3
Vamos escrever as componentes de cada vetor explicitamente (para não confundir):
Agora calculamos o produto escalar
usando a fórmula componente a componente:
Passo 4
Continuando as contas do passo anterior:
Como o produto escalar ficou
, concluímos que
é perpendicular a
.
Passo 5
Agora calculamos o produto escalar
:
Fazendo as multiplicações e soma:
Passo 6
Como
, temos que
é perpendicular a
. Juntando com o resultado anterior, mostramos que
é perpendicular simultaneamente a
e a
.
Resposta
Portanto