Dados os vetores \vec{A}=2 \hat{i}-\hat{k}, \vec{B}=3 \hat{i}+\hat{j} e \vec{C}=-2 \hat{i}+6 \hat{j}-4 \hat{k}, mostre que \vec{C} é perpendicular, simultaneamente, a \vec{A} e \vec{B}.

Passo 1

O enunciado dá três vetores e pede para mostrar que \vec{C} é perpendicular, ao mesmo tempo, a \vec{A} e a \vec{B}.
Informações dadas:
\vec{A}=2\hat{i}-\hat{k},
\vec{B}=3\hat{i}+\hat{j},
\vec{C}=-2\hat{i}+6\hat{j}-4\hat{k}.
O que precisamos provar: que \vec{C} é perpendicular a \vec{A} e que \vec{C} é perpendicular a \vec{B} (ou seja, simultaneamente às duas).

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicadinho): dois vetores são perpendiculares se o produto escalar entre eles for zero. O produto escalar em coordenadas (componentes) no espaço 3D é dado por
\vec{X}\cdot\vec{Y}=X_x Y_x + X_y Y_y + X_z Y_z,
onde X_x,X_y,X_z são as componentes do vetor \vec{X} nas direções \hat{i},\hat{j},\hat{k} respectivamente, e Y_x,Y_y,Y_z são as componentes do vetor \vec{Y}. Geometricamente vale também
\vec{X}\cdot\vec{Y}=|\vec{X}||\vec{Y}|\cos\theta,
onde \theta é o ângulo entre os vetores; se o produto escalar for zero, então \cos\theta=0 e \theta=90^\circ, isto é, são perpendiculares.

Passo 3

Vamos escrever as componentes de cada vetor explicitamente (para não confundir):
\vec{A}=(2,\,0,\,-1),\qquad \vec{B}=(3,\,1,\,0),\qquad \vec{C}=(-2,\,6,\,-4).
Agora calculamos o produto escalar \vec{A}\cdot\vec{C} usando a fórmula componente a componente:
\vec{A}\cdot\vec{C}=2\cdot(-2)+0\cdot6+(-1)\cdot(-4).

Passo 4

Continuando as contas do passo anterior:
\vec{A}\cdot\vec{C}=-4+0+4=0.
Como o produto escalar ficou 0, concluímos que \vec{C} é perpendicular a \vec{A}.

Passo 5

Agora calculamos o produto escalar \vec{B}\cdot\vec{C}:
\vec{B}\cdot\vec{C}=3\cdot(-2)+1\cdot6+0\cdot(-4).
Fazendo as multiplicações e soma:
\vec{B}\cdot\vec{C}=-6+6+0=0.

Passo 6

Como \vec{B}\cdot\vec{C}=0, temos que \vec{C} é perpendicular a \vec{B}. Juntando com o resultado anterior, mostramos que \vec{C} é perpendicular simultaneamente a \vec{A} e a \vec{B}.

Resposta

\vec{A}\cdot\vec{C}=0
\vec{B}\cdot\vec{C}=0
Portanto \vec{C} é perpendicular simultaneamente a \vec{A} e a \vec{B}.

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