Dado o polinômio p(x)=x^{3}-x^{2}, calcule p(A) em cada caso a seguir, conforme feito no Exemplo 1.1.1 acima.
A=\left[\begin{array}{cc}-1 & 2 \\\\ 0 & 3\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para calcular p(A) onde o polinômio é
p(x)=x^{3}-x^{2}
e a matriz é
A=\begin{pmatrix}-1 & 2 \\[6pt] 0 & 3\end{pmatrix}.
Precisamos, portanto, obter A^{2} e A^{3} por multiplicação de matrizes e depois formar p(A)=A^{3}-A^{2}.]

Passo 2

Calcular A^{2}=A\cdot A. Multiplicando
A^{2} =\begin{pmatrix}-1 & 2 \\[3pt] 0 & 3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-1 & 2 \\[3pt] 0 & 3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} (-1)\cdot(-1)+2\cdot0 & (-1)\cdot2+2\cdot3 \\[6pt] 0\cdot(-1)+3\cdot0 & 0\cdot2+3\cdot3 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 & 4 \\[3pt] 0 & 9\end{pmatrix}.]

Passo 3

Calcular A^{3}=A^{2}\cdot A. Multiplicando
A^{3} =\begin{pmatrix}1 & 4 \\[3pt] 0 & 9\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-1 & 2 \\[3pt] 0 & 3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1\cdot(-1)+4\cdot0 & 1\cdot2+4\cdot3 \\[6pt] 0\cdot(-1)+9\cdot0 & 0\cdot2+9\cdot3 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-1 & 14 \\[3pt] 0 & 27\end{pmatrix}.]

Passo 4

Formar p(A)=A^{3}-A^{2}:
p(A) =\begin{pmatrix}-1 & 14 \\[3pt] 0 & 27\end{pmatrix} -\begin{pmatrix}1 & 4 \\[3pt] 0 & 9\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-1-1 & 14-4 \\[3pt] 0-0 & 27-9\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-2 & 10 \\[3pt] 0 & 18\end{pmatrix}.]

Resposta

p(A)=\begin{pmatrix}-2 & 10 \\[3pt] 0 & 18\end{pmatrix}.]

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