Dado o polinômio p(x)=x^{3}-x^{2}, calcule p(A) em cada caso a seguir, conforme feito no Exemplo 1.1.1 acima.
A=\left[\begin{array}{ccc}-1 & 2 & 3 \\\\ 0 & 4 & 0 \\\\ -1 & -2 & 0\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para calcular
p(A)=A^{3}-A^{2}
onde A é a matriz
A=\begin{pmatrix} -1 & 2 & 3\\\\ 0 & 4 & 0\\\\ -1 & -2 & 0 \end{pmatrix}.
O conteúdo aqui é função polinomial de matriz e vamos precisar usar a definição de multiplicação de matrizes para obter A^{2} e A^{3}.

Passo 2

Calcular A^{2}=A\cdot A entry a entry:
A^{2}= \begin{pmatrix} (-1)(-1)+2\cdot0+3(-1) & (-1)\cdot2+2\cdot4+3(-2) & (-1)\cdot3+2\cdot0+3\cdot0\\[6pt] 0\cdot(-1)+4\cdot0+0\cdot(-1) & 0\cdot2+4\cdot4+0\cdot(-2) & 0\cdot3+4\cdot0+0\cdot0\\[6pt] (-1)(-1)+(-2)\cdot0+0\cdot(-1) & (-1)\cdot2+(-2)\cdot4+0\cdot(-2) & (-1)\cdot3+(-2)\cdot0+0\cdot0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 0 & -3\\\\ 0 & 16 & 0\\\\ 1 & -10 & -3 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Calcular A^{3}=A^{2}\cdot A entry a entry:
A^{3}= \begin{pmatrix} -2 & 0 & -3\\\\ 0 & 16 & 0\\\\ 1 & -10 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 2 & 3\\\\ 0 & 4 & 0\\\\ -1 & -2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 2 & -6\\\\ 0 & 64 & 0\\\\ 2 & -32 & 3 \end{pmatrix}.

Passo 4

Agora
p(A)=A^{3}-A^{2}= \begin{pmatrix} 5 & 2 & -6\\\\ 0 & 64 & 0\\\\ 2 & -32 & 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -2 & 0 & -3\\\\ 0 & 16 & 0\\\\ 1 & -10 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & 2 & -3\\\\ 0 & 48 & 0\\\\ 1 & -22 & 6 \end{pmatrix}.

Resposta

p(A)= \begin{pmatrix} 7 & 2 & -3\\\\ 0 & 48 & 0\\\\ 1 & -22 & 6 \end{pmatrix}.

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