Dado o polinômio p(x)=x^{3}-x^{2}, calcule p(A) em cada caso a seguir, conforme feito no Exemplo 1.1.1 acima. A=\left[\begin{array}{cc}0 & 1 \\\\ -1 & 0\end{array}\right] Passo 1O enunciado dá o polinômio p(x)=x^{3}-x^{2} e a matriz A=\begin{pmatrix}0 & 1 \\[6pt] -1 & 0\end{pmatrix}, e pede p(A). Para isso basta calcular A^{2}, depois A^{3} e então formar p(A)=A^{3}-A^{2}.] Passo 2Calcular A^{2} multiplicando A por si mesma: A^{2} =\begin{pmatrix}0 & 1 \\[3pt] -1 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 & 1 \\[3pt] -1 & 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-1 & 0 \\[3pt] 0 & -1\end{pmatrix} =-I.] Passo 3Obter A^{3} usando A^{3}=A\cdot A^{2}. Como A^{2}=-I, temos A^{3}=A\cdot(-I)=-A. Passo 4Construir p(A): p(A)=A^{3}-A^{2} =-A-(-I) =-A+I =I-A. Agora basta subtrair A da identidade: I-A =\begin{pmatrix}1 & 0 \\[3pt] 0 & 1\end{pmatrix} -\begin{pmatrix}0 & 1 \\[3pt] -1 & 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 & -1 \\[3pt] 1 & 1\end{pmatrix}.] Resposta p(A)=\begin{pmatrix}1 & -1 \\[3pt] 1 & 1\end{pmatrix}.] MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosDado o polinômio p(x)=x^{3}-x^{2}, calcule p(A) em cada caso a seguir, conforme feito no Exemplo 1.1.1 acima. A=\left[\begin{array}{cc}-1 & 2 \\\\ 0 & 3\end{array}\right] Existe uma matriz 3 \times 3 que tem exatamente dois autovalores e é diagonalizável? Justique cuidadosamente a sua resposta. Dado o polinômio p(x)=x^{3}-x^{2}, calcule p(A) em cada caso a seguir, conforme feito no Exemplo 1.1.1 acima. A=\left[\begin{array}{ccc}-1 & 2 & 3 \\\\ 0 & 4 & 0 \\\\ -1 & -2 & 0\end{array}\right] Encontre uma matriz A=\left[\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right] tal que p(A) é a matriz nula em p(x)=2 x^{2}-2.