Dado o polinômio p(x)=x^{3}-x^{2}, calcule p(A) em cada caso a seguir, conforme feito no Exemplo 1.1.1 acima.
A=\left[\begin{array}{cc}0 & 1 \\\\ -1 & 0\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá o polinômio p(x)=x^{3}-x^{2} e a matriz
A=\begin{pmatrix}0 & 1 \\[6pt] -1 & 0\end{pmatrix},
e pede p(A). Para isso basta calcular A^{2}, depois A^{3} e então formar
p(A)=A^{3}-A^{2}.]

Passo 2

Calcular A^{2} multiplicando A por si mesma:
A^{2} =\begin{pmatrix}0 & 1 \\[3pt] -1 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 & 1 \\[3pt] -1 & 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-1 & 0 \\[3pt] 0 & -1\end{pmatrix} =-I.]

Passo 3

Obter A^{3} usando A^{3}=A\cdot A^{2}. Como A^{2}=-I, temos
A^{3}=A\cdot(-I)=-A.

Passo 4

Construir p(A):
p(A)=A^{3}-A^{2} =-A-(-I) =-A+I =I-A.
Agora basta subtrair A da identidade:
I-A =\begin{pmatrix}1 & 0 \\[3pt] 0 & 1\end{pmatrix} -\begin{pmatrix}0 & 1 \\[3pt] -1 & 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 & -1 \\[3pt] 1 & 1\end{pmatrix}.]

Resposta

p(A)=\begin{pmatrix}1 & -1 \\[3pt] 1 & 1\end{pmatrix}.]

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