Encontre uma matriz A=\left[\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right] tal que p(A) é a matriz nula em p(x)=2 x^{2}-2.

Passo 1

O enunciado pede uma matriz A=\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix} tal que
p(A)=2A^2-2I=0.
Isto equivale a achar uma matriz que satisfaça
A^2=I.
O conteúdo aqui é o conceito de matriz involutória (matriz cujo quadrado é a identidade).

Passo 2

Escrevendo
A^2=\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}^2 =\begin{pmatrix} a^2+bc & (a+d)b\\\ (a+d)c & bc+d^2 \end{pmatrix}
e exigindo A^2=I=\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&1\end{pmatrix}, obtemos o sistema
\begin{cases} a^2+bc=1,\\\ (a+d)b=0,\\\ (a+d)c=0,\\\ bc+d^2=1. \end{cases}

Passo 3

Para simplificar, escolhemos a opção b=0 e c=0. Então as duas equações cruzadas (a+d)b=0 e (a+d)c=0 ficam trivialmente satisfeitas, e as outras duas viram
a^2=1,\quad d^2=1.
Isso dá a=\pm1 e d=\pm1.

Passo 4

Tomemos a escolha a=1 e d=-1. Logo
A=\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&-1\end{pmatrix}.
Verificamos rapidamente:
A^2=\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&-1\end{pmatrix}^2 =\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&1\end{pmatrix}=I,
então
p(A)=2A^2-2I=2I-2I=0.

Resposta

Uma opção é
A=\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&-1\end{pmatrix}.

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