Verifique, seguindo os passos dos exemplos anteriores, se T dada a seguir é diagonalizável. T: \mathbb{R}^{4} \mathbb{R}^{4}, dada por T(x, y, z, t)=(3 x-4 z, 3 y+5 z,-z, t)
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o operador linear T\colon\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^4 definido por
T(x,y,z,t) = (3x - 4z,\;3y + 5z,\;-z,\;t)
é diagonalizável. Vamos representar T por uma matriz na base canônica, encontrar os autovalores e comparar suas multiplicidades algébrica e geométrica.
Passo 2
A matriz de T na base canônica \{e_1,e_2,e_3,e_4\} é triangular superior:
Para \lambda=3, resolvemos (A - 3I)v=0. Isso leva às equações -4z=0 e -2t=0, logo z=t=0 e x,y livres. A dimensão do espaço próprio de 3 é 2, igual à multiplicidade algébrica. Para \lambda=-1 e \lambda=1, a multiplicidade geométrica é 1 (valores simples).
Como, para cada autovalor, a multiplicidade geométrica coincide com a algébrica, a matriz A é diagonalizável. Logo, o operador T também é diagonalizável.