Mostre que o polinômio
não possui raízes racionais.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o polinômio
não tem raízes racionais.
O conteúdo que vamos usar é o Teorema das Raízes Racionais, que afirma que se um polinômio com coeficientes inteiros tem uma raiz racional na forma irredutível, então
divide o termo constante e
divide o coeficiente líder.
O conteúdo que vamos usar é o Teorema das Raízes Racionais, que afirma que se um polinômio com coeficientes inteiros tem uma raiz racional na forma
Passo 2
Para aplicar o teorema, primeiro transformamos
num polinômio com coeficientes inteiros, multiplicando por
. Definimos
As raízes de
são as mesmas de
, portanto basta mostrar que
não tem raízes racionais.
Passo 3
Pelo Teorema das Raízes Racionais, quaisquer raízes racionais de
devem ser da forma
, onde
é divisor de
. Os divisores de
são
Então os candidatos são
Passo 4
Agora avaliamos
em cada candidato:
Como nenhum desses valores zera
, concluímos que
(e portanto
) não tem raízes racionais.
Resposta
O polinômio
não possui raízes racionais.