Mostre que o polinômio p(x)=\frac{1}{9} x^{5}-2 x^{2}+7 x+2 não possui raízes racionais.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o polinômio
p(x)=\frac{1}{9}x^{5}-2x^{2}+7x+2
não tem raízes racionais.
O conteúdo que vamos usar é o Teorema das Raízes Racionais, que afirma que se um polinômio com coeficientes inteiros tem uma raiz racional na forma \frac{a}{b} irredutível, então a divide o termo constante e b divide o coeficiente líder.

Passo 2

Para aplicar o teorema, primeiro transformamos p(x) num polinômio com coeficientes inteiros, multiplicando por 9. Definimos
q(x) = 9\,p(x) = x^{5} -18x^{2} +63x +18.
As raízes de q são as mesmas de p, portanto basta mostrar que q não tem raízes racionais.

Passo 3

Pelo Teorema das Raízes Racionais, quaisquer raízes racionais de q(x) devem ser da forma \pm d, onde d é divisor de 18. Os divisores de 18 são
1,\,2,\,3,\,6,\,9,\,18.
Então os candidatos são
\pm 1,\;\pm 2,\;\pm 3,\;\pm 6,\;\pm 9,\;\pm 18.

Passo 4

Agora avaliamos q(x) em cada candidato:
\begin{aligned} q(1)&=1 -18 +63 +18=64\neq0,\\\ q(-1)&=-1 -18 -63 +18=-64\neq0,\\\ q(2)&=32 -72 +126 +18=104\neq0,\\\ q(-2)&=-32 -72 -126 +18=-212\neq0,\\\ q(3)&=243 -162 +189 +18=288\neq0,\\\ q(-3)&=-243 -162 -189 +18=-576\neq0,\\\ q(6)&=7776 -648 +378 +18=7524\neq0,\\\ q(-6)&=-7776 -648 -378 +18=-8784\neq0,\\\ q(9)&=59049 -1458 +567 +18=58176\neq0,\\\ q(-9)&=-59049 -1458 -567 +18=-61156\neq0,\\\ q(18)&=1889568 -5832 +1134 +18=1884888\neq0,\\\ q(-18)&=-1889568 -5832 -1134 +18=-189653... \neq0. \end{aligned}
Como nenhum desses valores zera q(x), concluímos que q (e portanto p) não tem raízes racionais.

Resposta

O polinômio p(x) não possui raízes racionais.

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