Determine todas as raízes racionais de 9-4 \frac{4}{x^{3}}+17 x+\frac{293}{15}

Passo 1

O enunciado pede para determinar as raízes racionais da função
f(x)=9 \;-\;4\cdot\frac{4}{x^{3}}\;+\;17x\;+\;\frac{293}{15}
ou seja, resolver f(x)=0 procurando soluções racionais. O conteúdo envolvido é a aplicação do Teorema das Raízes Racionais: se uma fração x=\frac{p}{q} (em forma irredutível) anula um polinômio de coeficientes inteiros, então p divide o termo independente e q divide o coeficiente líder.

Passo 2

Multiplicamos a equação f(x)=0 por 15x^{3} (que é diferente de zero para x\neq0) para obter um polinômio em x:
15x^{3}\Bigl(9 - 4\cdot\frac{4}{x^{3}} + 17x + \tfrac{293}{15}\Bigr)=0
Isso resulta em
135x^{3} \;-\;240 \;+\;255x^{4}\;+\;293x^{3}=0
e agrupando termos semelhantes temos
255x^{4} \;+\;(135+293)x^{3}\;-\;240=0 \quad\Longrightarrow\quad 255x^{4}+428x^{3}-240=0.

Passo 3

Pelo Teorema das Raízes Racionais, qualquer raiz racional x=\tfrac{p}{q} (irredutível) deve satisfazer
p\mid(-240) \quad\text{e}\quad q\mid255.
Assim p é divisor de 240 e q é divisor de 255. Listamos os candidatos \pm\frac{p}{q} e testamos em
255x^{4}+428x^{3}-240.

Passo 4

Testando todos os candidatos \pm1,\pm2,\pm3,\pm4,\dots sobre denominadores 1,3,5,15,17,51,85,255, nenhum deles anula o polinômio.
Ou seja, para cada \tfrac{p}{q} possível,
255\Bigl(\tfrac{p}{q}\Bigr)^{4} +428\Bigl(\tfrac{p}{q}\Bigr)^{3} -240\neq0.

Resposta

Não existem raízes racionais da função dada.

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