Dado um polinômio de grau 2 , com raízes reais, calcule a área do triângulo formado pelas raízes e pelo vértice do polinômio.

Passo 1

O que o problema pede e o que sabemos (tudo que vem do enunciado):
  • Pede: calcular a área do triângulo formado pelas duas raízes e pelo vértice de um polinômio de grau 2 que tem raízes reais.
  • Informações dadas (assumidas para um polinômio quadrático genérico):
    • A função é f(x)=ax^{2}+bx+c com a\neq0.
    • As raízes são reais (ou seja, o discriminante \Delta satisfaz \Delta\ge0).
    • Definimos as raízes por r_{1} e r_{2}. Os pontos no plano correspondentes às raízes são (r_{1},0) e (r_{2},0).
    • O vértice do polinômio é um ponto (h,k) que pertence à parábola definida por f.
  • Objetivo final: encontrar a área do triângulo cujos vértices são (r_{1},0), (r_{2},0) e (h,k).

Passo 2

Relembrar fórmulas úteis sobre raízes e discriminante:
  • O discriminante é \Delta=b^{2}-4ac. Como as raízes são reais, temos \Delta\ge0.
  • As raízes são dadas por
r_{1},r_{2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}.
  • A soma e o produto das raízes valem, respectivamente,
r_{1}+r_{2}=-\frac{b}{a},\qquad r_{1}r_{2}=\frac{c}{a}.
Expliquei: \Delta controla se as raízes são reais ( \Delta\ge0) e aparece nas fórmulas explícitas para r_{1},r_{2}.

Passo 3

Coordenadas do vértice: h (abscissa) e k (ordenada).
  • A abscissa do vértice é
h=-\frac{b}{2a}.
Isso vem da fórmula do vértice ou completando quadrado.
  • Para achar k (o valor de f em h) é útil completar o quadrado. Escrevendo f como
f(x)=a\!\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}-\frac{\Delta}{4a},
fica claro que o vértice está em x=-\dfrac{b}{2a} e que o valor mínimo/máximo (dependendo do sinal de a) é
k=f(h)=-\frac{\Delta}{4a}.
Expliquei: o termo a\big(x+\frac{b}{2a}\big)^{2} é sempre não negativo quando a>0 (ou não positivo quando a<0), então a constante que sobra é o valor de f no vértice.

Passo 4

Relação entre o vértice e as raízes (posição horizontal):
  • Usando r_{1}+r_{2}=-\dfrac{b}{a} e h=-\dfrac{b}{2a}, obtemos
h=\frac{r_{1}+r_{2}}{2}.
Ou seja, a abscissa do vértice é o ponto médio entre as duas raízes: o vértice fica exatamente entre elas na horizontal.

Passo 5

Comprimento da base do triângulo (segmento entre as raízes):
  • A base é a distância entre (r_{1},0) e (r_{2},0), que é |r_{2}-r_{1}|.
  • Calculando r_{2}-r_{1} a partir das fórmulas das raízes:
r_{2}-r_{1}=\frac{\sqrt{\Delta}}{a}.
Portanto o comprimento da base, em valor absoluto, é
\text{base} = |r_{2}-r_{1}|=\frac{\sqrt{\Delta}}{|a|}.
Expliquei: a raiz quadrada aparece porque as raízes diferem apenas pelo sinal de \sqrt{\Delta}, e o valor absoluto em a corrige o sinal de a.

Passo 6

Altura do triângulo (distância vertical do vértice até a reta y=0):
  • O vértice tem ordenada k=-\dfrac{\Delta}{4a}. A altura é a distância vertical absoluta entre k e o eixo x (onde estão as raízes), isto é
\text{altura}=|k|=\left|-\frac{\Delta}{4a}\right|=\frac{\Delta}{4|a|}.
Expliquei: usamos valor absoluto porque a altura é positiva, independentemente do sinal de k (se a parábola abre para cima, k é negativo; se abre para baixo, k é positivo — de todo jeito tomamos a distância).

Passo 7

Área do triângulo usando base e altura:
  • A área de um triângulo é \dfrac{1}{2}\times\text{base}\times\text{altura}.
  • Substituindo os valores que encontramos:
\text{Área}=\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{\Delta}}{|a|}\cdot\frac{\Delta}{4|a|}.Á
  • Simplificando passo a passo:
\text{Área}=\frac{1}{2}\cdot\frac{\Delta^{1/2}\,\Delta}{4|a|^{2}} =\frac{1}{2}\cdot\frac{\Delta^{3/2}}{4|a|^{2}} =\frac{\Delta^{3/2}}{8|a|^{2}}.Á
  • Substituindo \Delta=b^{2}-4ac, uma forma final conveniente é
\boxed{\text{Área}=\frac{\bigl(b^{2}-4ac\bigr)^{3/2}}{8\,|a|^{2}}.}Á
Expliquei: a expressão está em termos dos coeficientes a,b,c; ela é sempre não negativa quando as raízes são reais ( \Delta\ge0).

Passo 8

Exemplo numérico rápido (para sentir que a fórmula funciona):
  • Tome f(x)=x^{2}-5x+4. Então a=1, b=-5, c=4.
  • O discriminante é \Delta=b^{2}-4ac=25-16=9.
  • Pela fórmula: \text{Área}=\dfrac{9^{3/2}}{8\cdot1^{2}}=\dfrac{27}{8}=3{,}375Á.
  • Verificação direta: as raízes são 1 e 4 (base =3), vértice em h=\tfrac{1+4}{2}=2{,}5 e k=-\dfrac{9}{4}=-2{,}25 (altura =2{,}25). Área =\tfrac{1}{2}\cdot3\cdot2{,}25=3{,}375. Confere.

Resposta

\displaystyle \frac{\bigl(b^{2}-4ac\bigr)^{3/2}}{8\,|a|^{2}}

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