fica claro que o vértice está em x=-\dfrac{b}{2a} e que o valor mínimo/máximo (dependendo do sinal de a) é
k=f(h)=-\frac{\Delta}{4a}.
Expliquei: o termo a\big(x+\frac{b}{2a}\big)^{2} é sempre não negativo quando a>0 (ou não positivo quando a<0), então a constante que sobra é o valor de f no vértice.
Passo 4
Relação entre o vértice e as raízes (posição horizontal):
Usando r_{1}+r_{2}=-\dfrac{b}{a} e h=-\dfrac{b}{2a}, obtemos
h=\frac{r_{1}+r_{2}}{2}.
Ou seja, a abscissa do vértice é o ponto médio entre as duas raízes: o vértice fica exatamente entre elas na horizontal.
Passo 5
Comprimento da base do triângulo (segmento entre as raízes):
A base é a distância entre (r_{1},0) e (r_{2},0), que é |r_{2}-r_{1}|.
Calculando r_{2}-r_{1} a partir das fórmulas das raízes:
r_{2}-r_{1}=\frac{\sqrt{\Delta}}{a}.
Portanto o comprimento da base, em valor absoluto, é
Expliquei: usamos valor absoluto porque a altura é positiva, independentemente do sinal de k (se a parábola abre para cima, k é negativo; se abre para baixo, k é positivo — de todo jeito tomamos a distância).
Passo 7
Área do triângulo usando base e altura:
A área de um triângulo é \dfrac{1}{2}\times\text{base}\times\text{altura}.
Expliquei: a expressão está em termos dos coeficientes a,b,c; ela é sempre não negativa quando as raízes são reais (\Delta\ge0).
Passo 8
Exemplo numérico rápido (para sentir que a fórmula funciona):
Tome f(x)=x^{2}-5x+4. Então a=1, b=-5, c=4.
O discriminante é \Delta=b^{2}-4ac=25-16=9.
Pela fórmula: \text{Área}=\dfrac{9^{3/2}}{8\cdot1^{2}}=\dfrac{27}{8}=3{,}375Á.
Verificação direta: as raízes são 1 e 4 (base =3), vértice em h=\tfrac{1+4}{2}=2{,}5 e k=-\dfrac{9}{4}=-2{,}25 (altura =2{,}25). Área =\tfrac{1}{2}\cdot3\cdot2{,}25=3{,}375. Confere.