Um quadrado A B C D tem a diagonal B D contida na reta lx=1 y=z. Sabendo que A=(0,0,0), determine os vértices B, C e D.

Passo 1

O enunciado dá um quadrado
Sabemos que, em todo quadrado, as diagonais se cortam no ponto médio, são perpendiculares e têm o mesmo comprimento. Vamos usar essas três propriedades para achar e .

Passo 2

Como B e D pertencem à reta dada, podemos escrever
B=(1,t,t), D=(1,u,u)
para certos parâmetros t,u. Se M é o ponto médio de BD, então
M=B+D2=l(1,;t+u2,;t+u2r)
Por outro lado, M é também o ponto médio de AC. Como A=(0,0,0), segue
C=2M=(2,;t+u,;t+u)

Passo 3

As diagonais são perpendiculares, logo
(D-B)cdot (C-A)=0
Escrevendo D-B=(0,,u-t,,u-t) e C-A=C=(2,,t+u,,t+u), temos
(0)cdot2+(u-t)(t+u)+(u-t)(t+u) =2(u-t)(t+u)=0 ;Longrightarrow; u^2-t^2=0 ;Longrightarrow; u=pm t
Para não colapsar B em D, escolhemos u=-t.

Passo 4

Com u=-t fica
C=(2,;t+(-t),;t+(-t))=(2,0,0)
Portanto a outra diagonal AC tem comprimento
|AC|=l|C-Ar|=|(2,0,0)|=2

Passo 5

O comprimento da diagonal BD deve ser igual a 2. Como
D-B=(0,,-2t,,-2t),
temos
|BD|^2=|(0,-2t,-2t)|^2=4t^2+4t^2=8t^2
Igualando a 2^2=4, vem
8t^2=4 ;Longrightarrow; t^2=tfrac12 ;Longrightarrow; t=pm1raiz2

Passo 6

Há duas orientações possíveis (escolhendo o sinal de t), mas basta fixar uma. Por exemplo, para
t=+1raiz2,
obtemos
B=l(1,;tfrac1raiz2,;tfrac1raiz2r), D=l(1,;-tfrac1raiz2,;-tfrac1raiz2r), C=(2,0,0)

Resposta

B=l(1,;1/raiz2,;1/raiz2r), C=(2,0,0), D=l(1,-1/raiz2,-1/raiz2r).

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