Sejam \alpha=\{(1,0),(0,2)\}, \beta=\{(-1,0),(1,1)\}, \gamma=\{(1,1),(-1,0)\} bases ordenadas de \mathbb{R}^{2}. Determine:
[I]_{\alpha}^{\beta}

Passo 1

O enunciado nos dá as bases ordenadas \alpha=\{(1,0),(0,2)\} e \beta=\{(-1,0),(1,1)\} em \mathbb{R}^2
e pede [I]_{\alpha}^{\beta}, ou seja, a matriz da transformação identidade que converte coordenadas na base \alpha para coordenadas na base \beta.
Para isso, basta expressar cada vetor de \alpha como combinação linear dos vetores de \beta e usar esses coeficientes como colunas da matriz.

Passo 2

Vamos expressar o primeiro vetor de \alpha\), \[v_1 = (1,0),
na base \beta. Queremos x,y tais que
x\,(-1,0) + y\,(1,1) = (1,0).
Isso gera o sistema
\begin{cases} -x + y = 1,\\\ \phantom{-}0x + y = 0. \end{cases}
Da segunda equação vem y=0\] e, então, da primeira \(-x = 1 implica x=-1.
Logo, em coordenadas de \beta,
[v_1]_{\beta} = \begin{pmatrix}-1\\[6pt]0\end{pmatrix}.]

Passo 3

Agora o segundo vetor de \alpha\), \[v_2 = (0,2),
na base \beta. Procuramos x,y tais que
x\,(-1,0) + y\,(1,1) = (0,2).
Isso gera o sistema
\begin{cases} -x + y = 0,\\\ \phantom{-}y = 2. \end{cases}
Da segunda equação y=2\] e, da primeira, \(-x + 2 = 0 x=2.
Portanto,
[v_2]_{\beta} = \begin{pmatrix}2\\[6pt]2\end{pmatrix}.]

Passo 4

A matriz [I]_{\alpha}^{\beta} tem como colunas [v_1]_{\beta} e [v_2]_{\beta}. Assim,
[I]_{\alpha}^{\beta} = \begin{pmatrix} -1 & 2\\\ \phantom{-}0 & 2 \end{pmatrix}.

Resposta

[I]_{\alpha}^{\beta} = \begin{pmatrix} -1 & 2\\\\ 0 & 2 \end{pmatrix}.

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