(2 pontos) Considere as equaçōes abaixo e julgue os itens como verdadeiros ( V ) ou falsos ( F ):
E_{1}: \quad \frac{(x-4)^{2}}{9-k}+\frac{y^{2}}{5+k}=1 \quad E_{2}: \quad \frac{x^{2}}{k-1}-\frac{(y+2)^{2}}{k+3}=1
(a) E_{1} representa uma elipse para -5<k<9 e k \neq 2.
(b) E_{1} representa uma circunferência se, e somente se, k=0.
(c) E_{1} representa o conjunto vazio se 9-k \leq 0 ou 5+k \leq 0.
(d) E_{2} representa uma hipérbole sempre que os denominadores são positivos.
(e) E_{2} representa uma elipse para algum valor real de k.
(f) E_{2} representa o conjunto vazio quando pelo menos um dos denominadores é negativo.
(g) E_{2} representa uma parábola quando k=1 ou k=-3.

Passo 1

O enunciado pede para julgar, como verdadeiros (V) ou falsos (F), sete afirmações sobre as equações
E_{1}: \frac{(x-4)^{2}}{9-k} + \frac{y^{2}}{5+k} = 1
e
E_{2}: \frac{x^{2}}{k-1} - \frac{(y+2)^{2}}{k+3} = 1.
O conteúdo envolvido é a classificação de cônicas em função do sinal dos denominadores (para formas canônicas de elipse, hipérbole, circunferência, parábola ou conjunto vazio).

Passo 2

Analisando E_{1}:
  • Para ser elipse, ambos os denominadores devem ser positivos:
9-k>0 \implies k<9,\quad 5+k>0 \implies k>-5,
ou seja -5<k<9.
  • Para ser circunferência, além de elipse, os semi-eixos devem ser iguais, isto é
9-k = 5+k \implies k=2.
  • Se um denominador for zero ou negativo, a forma deixa de ser elipse; em particular, se um denominador é negativo e o outro positivo, E_{1} vira hipérbole, e se ambos fossem negativos não há solução real.
Com isso:
(a) “ E_{1} representa uma elipse para -5<k<9 e k\neq2.”
Como para qualquer k em -5<k<9 (incluindo k=2) temos elipse, fica verdadeiro que sempre que -5<k<9 e k\neq2 também é elipse. Logo (a) é V.
(b) “ E_{1} representa uma circunferência se, e somente se, k=0.”
Na verdade a circunferência ocorre em k=2. Logo (b) é F.
(c) “ E_{1} representa o conjunto vazio se 9-k\le0 ou 5+k\le0.”
Quando um denominador é negativo e o outro positivo surge hipérbole, não conjunto vazio. Logo (c) é F.

Passo 3

Agora E_{2}:
\frac{x^{2}}{k-1} - \frac{(y+2)^{2}}{k+3} = 1.
  • Se k-1>0 e k+3>0, os dois termos têm coeficientes positivos antes de subtrair, caracterizando hipérbole.
  • Se k-1>0 e k+3<0 (impossível em conjunto, pois não existe k que seja simultaneamente >1 e <-3), ou seja, não gera elipse em caso real.
  • Se k-1<0 e k+3>0, temos um termo com coeficiente negativo e o outro com coeficiente positivo; a soma não atinge 1, levando a vazio.
  • Se ambos os denominadores são negativos k<1 e k<-3, ou seja k<-3, cada termo tem sinal tal que permanece hipérbole.
  • Para k=1 ou k=-3 fica indefinido (divisão por zero) e não se obtém parábola.
Com isso:
(d) “ E_{2} representa uma hipérbole sempre que os denominadores são positivos.”
Verdadeiro. Então (d) é V.
(e) “ E_{2} representa uma elipse para algum valor real de k.”
Não há k real que faça as duas frações darem soma de sinais iguais positivas; logo nunca elipse. Então (e) é F.
(f) “ E_{2} representa o conjunto vazio quando pelo menos um dos denominadores é negativo.”
Para k<1 mas k>-3 isso vale (vazio), porém para k<-3 ambos são negativos e forma hipérbole, não vazio. Logo (f) é F.
(g) “ E_{2} representa uma parábola quando k=1 ou k=-3.”
Nesses casos ocorre divisão por zero e não surge forma parabólica regular. Então (g) é F.

Resposta

(a) V
(b) F
(c) F
(d) V
(e) F
(f) F
(g) F

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