(2 pontos) Considere as equaçōes abaixo e julgue os itens como verdadeiros (
) ou falsos (
):
(a)
representa uma elipse para
e
.
(b)
representa uma circunferência se, e somente se,
.
(c)
representa o conjunto vazio se
ou
.
(d)
representa uma hipérbole sempre que os denominadores são positivos.
(e)
representa uma elipse para algum valor real de
.
(f)
representa o conjunto vazio quando pelo menos um dos denominadores é negativo.
(g)
representa uma parábola quando
ou
.
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
Passo 1
O enunciado pede para julgar, como verdadeiros (V) ou falsos (F), sete afirmações sobre as equações
e
O conteúdo envolvido é a classificação de cônicas em função do sinal dos denominadores (para formas canônicas de elipse, hipérbole, circunferência, parábola ou conjunto vazio).
Passo 2
Analisando
:
- Para ser elipse, ambos os denominadores devem ser positivos:
ou seja
.
- Para ser circunferência, além de elipse, os semi-eixos devem ser iguais, isto é
- Se um denominador for zero ou negativo, a forma deixa de ser elipse; em particular, se um denominador é negativo e o outro positivo,
vira hipérbole, e se ambos fossem negativos não há solução real.
Com isso:
(a) “ representa uma elipse para
e
.”
Como para qualquer em
(incluindo
) temos elipse, fica verdadeiro que sempre que
e
também é elipse. Logo (a) é V.
(a) “
Como para qualquer
(b) “
representa uma circunferência se, e somente se,
.”
Na verdade a circunferência ocorre em . Logo (b) é F.
Na verdade a circunferência ocorre em
(c) “
representa o conjunto vazio se
ou
.”
Quando um denominador é negativo e o outro positivo surge hipérbole, não conjunto vazio. Logo (c) é F.
Quando um denominador é negativo e o outro positivo surge hipérbole, não conjunto vazio. Logo (c) é F.
Passo 3
Agora
:
- Se
e , os dois termos têm coeficientes positivos antes de subtrair, caracterizando hipérbole. - Se
e (impossível em conjunto, pois não existe que seja simultaneamente e ), ou seja, não gera elipse em caso real. - Se
e , temos um termo com coeficiente negativo e o outro com coeficiente positivo; a soma não atinge 1, levando a vazio. - Se ambos os denominadores são negativos
e , ou seja , cada termo tem sinal tal que permanece hipérbole. - Para
ou fica indefinido (divisão por zero) e não se obtém parábola.
Com isso:
(d) “ representa uma hipérbole sempre que os denominadores são positivos.”
Verdadeiro. Então (d) é V.
(d) “
Verdadeiro. Então (d) é V.
(e) “
representa uma elipse para algum valor real de
.”
Não há real que faça as duas frações darem soma de sinais iguais positivas; logo nunca elipse. Então (e) é F.
Não há
(f) “
representa o conjunto vazio quando pelo menos um dos denominadores é negativo.”
Para mas
isso vale (vazio), porém para
ambos são negativos e forma hipérbole, não vazio. Logo (f) é F.
Para
(g) “
representa uma parábola quando
ou
.”
Nesses casos ocorre divisão por zero e não surge forma parabólica regular. Então (g) é F.
Nesses casos ocorre divisão por zero e não surge forma parabólica regular. Então (g) é F.
Resposta
(a) V
(b) F
(c) F
(d) V
(e) F
(f) F
(g) F
(b) F
(c) F
(d) V
(e) F
(f) F
(g) F