Dado o ponto e o vetor , determine:
A equaçāo parametrica, simetrica e reduzida na variavel da reta que passa pelo ponto e tem direção .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um ponto e um vetor direção . A pergunta é para determinar as equações paramétrica, simétrica e reduzida em da reta que passa por e tem direção .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma equação paramétrica de uma reta. Ela descreve a posição de qualquer ponto na reta usando um parâmetro, geralmente denotado por [t). A fórmula geral é:
Onde é o vetor direção.
Passo 3
Aplicando isso ao nosso caso, o ponto A(2,3,-4) é (x0, y0, z0) = (2,3,-4) e o vetor direção v = (1,-2,3) nos dá a = 1 , b = -2 e c = 3 . Substituindo na fórmula:
x = 2 + 1 cdot t y = 3 + (-2) cdot t z = -4 + 3 cdot t
Simplificando:
x = 2 + t y = 3 - 2t z = -4 + 3t
Passo 4
Agora, vamos para a equação simétrica da reta. Ela relaciona as coordenadas x , y e z diretamente, eliminando o parâmetro t . A forma geral é:
x - x0a = y - y0b = z - z0c
Usando nossos valores:
x - 21 = y - 3-2 = z + 43
Podemos deixar assim, ou simplificar a primeira fração:
x - 2 = y - 3-2 = z + 43
Passo 5
Por fim, vamos encontrar a equação reduzida na variável x . Isso significa expressar y e z em termos de x , eliminando o parâmetro t .
Primeiro, da equação paramétrica x = 2 + t , podemos isolar t :