Dado o ponto A(2,3,-4) e o vetor v=(1,-2,3), determine:
A equaçāo parametrica, simetrica e reduzida na variavel x da reta r que passa pelo ponto A e tem direção v.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um ponto A(2,3,-4) e um vetor direção v = (1,-2,3) . A pergunta é para determinar as equações paramétrica, simétrica e reduzida em x da reta r que passa por A e tem direção v .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma equação paramétrica de uma reta. Ela descreve a posição de qualquer ponto na reta usando um parâmetro, geralmente denotado por [t). A fórmula geral é:
Onde é o vetor direção.

Passo 3

Aplicando isso ao nosso caso, o ponto A(2,3,-4) é (x0, y0, z0) = (2,3,-4) e o vetor direção v = (1,-2,3) nos dá a = 1 , b = -2 e c = 3 . Substituindo na fórmula:
x = 2 + 1 cdot t y = 3 + (-2) cdot t z = -4 + 3 cdot t
Simplificando:
x = 2 + t y = 3 - 2t z = -4 + 3t

Passo 4

Agora, vamos para a equação simétrica da reta. Ela relaciona as coordenadas x , y e z diretamente, eliminando o parâmetro t . A forma geral é:
x - x0a = y - y0b = z - z0c
Usando nossos valores:
x - 21 = y - 3-2 = z + 43
Podemos deixar assim, ou simplificar a primeira fração:
x - 2 = y - 3-2 = z + 43

Passo 5

Por fim, vamos encontrar a equação reduzida na variável x . Isso significa expressar y e z em termos de x , eliminando o parâmetro t .
Primeiro, da equação paramétrica x = 2 + t , podemos isolar t :
t = x - 2
Agora, substituímos t nas equações de y e z :
y = 3 - 2t = 3 - 2(x - 2) = 3 - 2x + 4 = 7 - 2x
z = -4 + 3t = -4 + 3(x - 2) = -4 + 3x - 6 = 3x - 10
Então, as equações de y e z em função de x são:
y = 7 - 2x
z = 3x - 10

Resposta

As equações da reta [r) são:
Equação Paramétrica:
Equação Simétrica:
Equação Reduzida na variável (x]:

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