Determine a decomposição em valores singulares das seguintes matrizes:
(01) A=[ll 4 & 6 0 & 4 ]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a decomposição em valores singulares da matriz A , que é uma ferramenta super útil em álgebra linear para entender melhor as propriedades da matriz. Para isso, vamos precisar conhecer conceitos como matriz transposta, autovalores, autovetores e ortogonalidade. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, lembrando o que é a decomposição em valores singulares (SVD). A SVD de uma matriz A é dada por:
A = U Sigma V^T
Onde:
  • U e V são matrizes ortogonais (ou unitárias, no caso de números complexos).
  • Sigma é uma matriz diagonal com os valores singulares de A na diagonal.
Nosso objetivo é encontrar essas três matrizes para a matriz dada.

Passo 3

Vamos começar calculando A^T A , que é a matriz transposta de A multiplicada por A . Isso nos ajuda a encontrar os autovalores que vamos precisar para os valores singulares.
Dada:
A = 4 & 6 0 & 4
A transposta de A é:
A^T = 4 & 0 6 & 4
Então,
A^T A = 4 & 0 6 & 4 4 & 6 0 & 4 = 16 & 24 24 & 52

Passo 4

Agora, vamos encontrar os autovalores de A^T A . Os autovalores são soluções da equação característica:
det(A^T A - lambda I) = 0
Calculando:
det 16 - lambda & 24 24 & 52 - lambda = (16 - lambda)(52 - lambda) - (24)^2 = 0
Simplificando:
(16 - lambda)(52 - lambda) - 576 = 0 lambda^2 - 68lambda + (16 times 52) - 576 = 0 lambda^2 - 68lambda + 832 - 576 = 0 lambda^2 - 68lambda + 256 = 0
Resolvendo a equação quadrática:
lambda = 68 pm raiz68^2 - 4 times 1 times 2562 = 68 pm raiz4624 - 10242 = 68 pm raiz36002 = 68 pm 602
Então, os autovalores são:
lambda1 = 68 + 602 = 64 lambda2 = 68 - 602 = 4

Passo 5

Os valores singulares de A são as raízes quadradas dos autovalores de A^T A :
sigma1 = raiz64 = 8 sigma2 = raiz4 = 2
Então, a matriz Sigma é:
Sigma = 8 & 0 0 & 2

Passo 6

Agora, vamos encontrar a matriz V , cujas colunas são os autovetores de A^T A . Começando com lambda1 = 64 :
(A^T A - 64 I) = 16 - 64 & 24 24 & 52 - 64 = -48 & 24 24 & -12
Resolvendo (A^T A - 64 I)v = 0 :
-48v1 + 24v2 = 0 24v1 - 12v2 = 0
Simplificando, obtemos v1 = v2 . Então, um autovetor associado a lambda1 = 64 é v^(1) = 1 1 . Normalizando:
v^(1) = 1raiz2 1 1
Para lambda2 = 4 :
(A^T A - 4 I) = 16 - 4 & 24 24 & 52 - 4 = 12 & 24 24 & 48
Resolvendo (A^T A - 4 I)v = 0 :
12v1 + 24v2 = 0 24v1 + 48v2 = 0
Simplificando, obtemos v1 = -2v2 . Então, um autovetor associado a lambda2 = 4 é v^(2) = -2 1 . Normalizando:
v^(2) = 1raiz5 -2 1
Portanto, a matriz V é:
V = 1raiz2 & -2raiz5 1raiz2 & 1raiz5

Passo 7

Agora, vamos encontrar a matriz U . Sabemos que:
U = A V Sigma^-1
Calculando Sigma^-1 :
Sigma^-1 = 18 & 0 0 & 12
Então,
U = A V Sigma^-1 = 4 & 6 0 & 4 1raiz2 & -2raiz5 1raiz2 & 1raiz5 18 & 0 0 & 12
Vamos calcular A V :
A V = 4 times 1raiz2 + 6 times 1raiz2 & 4 times -2raiz5 + 6 times 1raiz5 0 times 1raiz2 + 4 times 1raiz2 & 0 times -2raiz5 + 4 times 1raiz5 = 10raiz2 & -8raiz5 4raiz2 & 4raiz5
Multiplicando por Sigma^-1 :
U = 10raiz2 times 18 & -8raiz5 times 12 4raiz2 times 18 & 4raiz5 times 12 = 108raiz2 & -4raiz5 48raiz2 & 2raiz5 = 54raiz2 & -4raiz5 12raiz2 & 2raiz5
Simplificando os termos, obtemos:
U = 5raiz28 & -4raiz5 raiz24 & 2raiz5
Para garantir que U seja uma matriz ortogonal, podemos normalizar as colunas, mas nesse caso específico, como já construímos a partir de A e V , ela já deve ser ortogonal.

Resposta

A decomposição em valores singulares da matriz A é:
A = U Sigma V^T
Onde:
U = 5raiz28 & -4raiz5 raiz24 & 2raiz5 , Sigma = 8 & 0 0 & 2 , V^T = 1raiz2 & 1raiz2 -2raiz5 & 1raiz5
Assim, essa é a decomposição em valores singulares da matriz A .

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