Determine a decomposição em valores singulares das seguintes matrizes:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a decomposição em valores singulares da matriz A , que é uma ferramenta super útil em álgebra linear para entender melhor as propriedades da matriz. Para isso, vamos precisar conhecer conceitos como matriz transposta, autovalores, autovetores e ortogonalidade. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, lembrando o que é a decomposição em valores singulares (SVD). A SVD de uma matriz A é dada por:
A = U Sigma V^T
Onde:
U e V são matrizes ortogonais (ou unitárias, no caso de números complexos).
Sigma é uma matriz diagonal com os valores singulares de A na diagonal.
Nosso objetivo é encontrar essas três matrizes para a matriz dada.
Passo 3
Vamos começar calculando A^T A , que é a matriz transposta de A multiplicada por A . Isso nos ajuda a encontrar os autovalores que vamos precisar para os valores singulares.
Dada:
A = 4 & 6 0 & 4
A transposta de A é:
A^T = 4 & 0 6 & 4
Então,
A^T A = 4 & 0 6 & 4 4 & 6 0 & 4 = 16 & 24 24 & 52
Passo 4
Agora, vamos encontrar os autovalores de A^T A . Os autovalores são soluções da equação característica:
Simplificando, obtemos v1 = -2v2 . Então, um autovetor associado a lambda2 = 4 é v^(2) = -2 1 . Normalizando:
v^(2) = 1raiz5 -2 1
Portanto, a matriz V é:
V = 1raiz2 & -2raiz5 1raiz2 & 1raiz5
Passo 7
Agora, vamos encontrar a matriz U . Sabemos que:
U = A V Sigma^-1
Calculando Sigma^-1 :
Sigma^-1 = 18 & 0 0 & 12
Então,
U = A V Sigma^-1 = 4 & 6 0 & 4 1raiz2 & -2raiz5 1raiz2 & 1raiz5 18 & 0 0 & 12
Vamos calcular A V :
A V = 4 times 1raiz2 + 6 times 1raiz2 & 4 times -2raiz5 + 6 times 1raiz5 0 times 1raiz2 + 4 times 1raiz2 & 0 times -2raiz5 + 4 times 1raiz5 = 10raiz2 & -8raiz5 4raiz2 & 4raiz5
Multiplicando por Sigma^-1 :
U = 10raiz2 times 18 & -8raiz5 times 12 4raiz2 times 18 & 4raiz5 times 12 = 108raiz2 & -4raiz5 48raiz2 & 2raiz5 = 54raiz2 & -4raiz5 12raiz2 & 2raiz5
Simplificando os termos, obtemos:
U = 5raiz28 & -4raiz5 raiz24 & 2raiz5
Para garantir que U seja uma matriz ortogonal, podemos normalizar as colunas, mas nesse caso específico, como já construímos a partir de A e V , ela já deve ser ortogonal.
Resposta
A decomposição em valores singulares da matriz A é: