Encontre os autovalores e bases dos autoespaços de A^3 s, sendo
A=[rrr-1 & -2 & -2 1 & 2 & 1 -1 & -1 & 0]

Passo 1

O enunciado pede os autovalores e as bases dos autoespaços de A^3 (isto é, da terceira potência da matriz dada). Para isso vamos usar que, se lambda é autovalor de A com autovetor v, então lambda^3 é autovalor de A^3 com o mesmo autovetor v. O plano é: (i) achar os autovalores de A, (ii) determinar as bases dos autoespaços de A, e (iii) elevar cada autovalor ao cubo para concluir em A^3.

Passo 2

Vamos calcular o polinômio característico de A. Temos
A - lambda I = -1-lambda & -2 & -2 1 & 2-lambda & 1 -1 & -1 & -lambda
O determinante é
det(A-lambda I) =(-1-lambda)l((2-lambda)(-lambda)-1cdot(-1)r) -(-2)l(1cdot(-lambda)-1cdot(-1)r) +(-2)l(1cdot(-1)-(2-lambda)(-1)r)
Ao simplificar, obtém-se
det(A-lambda I)=-(lambda+1)(lambda-1)^2

Passo 3

Do fator
o que leva ao sistema
Dessa forma . Tomando , obtemos um vetor gerador

Passo 4

Do fator (lambda-1)^2 segue o autovalor lambda=1 com multiplicidade algébrica 2. O autoespaço satisfaz (A-I)v=0:
A-I= -2 & -2 & -2 1 & 1 & 1 -1 & -1 & -1
que reduz ao único requisito x+y+z=0. Dois vetores lineares independentes são, por exemplo,
v1^(1)=(1,,0,,-1), v1^(2)=(0,,1,,-1)

Passo 5

Como os autovetores de A são os mesmos de A^3 e cada autovalor de A^3 vale lambda^3, concluímos:
  • De lambda=-1 em A surge lambda^3=(-1)^3=-1 em A^3, autoespaço gerado por (2,-1,1).
  • De lambda=1 em A surge lambda^3=1^3=1 em A^3, autoespaço de dimensão 2 com base (1,0,-1),(0,1,-1).

Resposta

Autovalores de A^3:
-1(mu<iplicidade 1), 1(mu<iplicidade 2)
Bases dos autoespaços de A^3:
E-1=span(2,-1,1), E1=span(1,0,-1),,(0,1,-1)

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