Encontre a matriz inversa de A=[cccc2 & 1 & 0 & 0 0 & 3 & -1 & 0 1 & 1 & 4 & 0 0 & 0 & 0 & 5]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a matriz inversa de uma matriz A específica. A matéria que estamos usando aqui é álgebra linear, mais especificamente, invertendo matrizes. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar a inversa de uma matriz através de operações elementares, usando o método das matrizes aumentadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a matriz inversa. A matriz inversa de A, denotada por A^-1, é uma matriz que, quando multiplicada por A, resulta na matriz identidade. Ou seja:
A cdot A^-1 = I
onde I é a matriz identidade.

Passo 3

Para encontrar A^-1, vamos usar o método das matrizes aumentadas. Isso significa que vamos escrever a matriz A ao lado da matriz identidade e realizar operações de linha para transformar A na identidade. As mesmas operações serão aplicadas à matriz identidade, que se tornará A^-1. Vamos montar a matriz aumentada:
[cccc|cccc 2 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & 3 & -1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 1 & 1 & 4 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 5 & 0 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 4

Vamos começar transformando o primeiro elemento da primeira linha em 1. Para isso, dividimos a primeira linha por 2:
[cccc|cccc 1 & 0.5 & 0 & 0 & 0.5 & 0 & 0 & 0 0 & 3 & -1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 1 & 1 & 4 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 5 & 0 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 5

Agora, vamos eliminar o 1 na primeira posição da terceira linha. Para isso, subtraímos a primeira linha da terceira linha:
[cccc|cccc 1 & 0.5 & 0 & 0 & 0.5 & 0 & 0 & 0 0 & 3 & -1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0.5 & 4 & 0 & -0.5 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 5 & 0 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 6

Vamos focar agora na segunda linha. Queremos que o segundo elemento da segunda linha seja 1. Então, dividimos a segunda linha por 3:
[cccc|cccc 1 & 0.5 & 0 & 0 & 0.5 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & -13 & 0 & 0 & 13 & 0 & 0 0 & 0.5 & 4 & 0 & -0.5 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 5 & 0 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 7

Agora, vamos eliminar o 0.5 na primeira linha e na terceira linha referente à segunda coluna. Para a primeira linha, subtraímos 0.5 vezes a segunda linha:
[cccc|cccc 1 & 0 & 16 & 0 & 0.5 & -16 & 0 & 0 0 & 1 & -13 & 0 & 0 & 13 & 0 & 0 0 & 0.5 & 4 & 0 & -0.5 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 5 & 0 & 0 & 0 & 1 ]
E para a terceira linha, subtraímos 0.5 vezes a segunda linha:
[cccc|cccc 1 & 0 & 16 & 0 & 0.5 & -16 & 0 & 0 0 & 1 & -13 & 0 & 0 & 13 & 0 & 0 0 & 0 & 133 & 0 & -0.5 & -16 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 5 & 0 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 8

Vamos agora transformar o terceiro elemento da terceira linha em 1 dividindo a terceira linha por 133:
[cccc|cccc 1 & 0 & 16 & 0 & 0.5 & -16 & 0 & 0 0 & 1 & -13 & 0 & 0 & 13 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & -326 & -126 & 313 & 0 0 & 0 & 0 & 5 & 0 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 9

Agora, vamos eliminar os 16 na primeira linha e -13 na segunda linha da terceira coluna. Para a primeira linha, subtraímos 16 vezes a terceira linha:
[cccc|cccc 1 & 0 & 0 & 0 & 0.5 + 3156 & -16 + 1156 & -378 & 0 0 & 1 & -13 & 0 & 0 & 13 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & -326 & -126 & 313 & 0 0 & 0 & 0 & 5 & 0 & 0 & 0 & 1 ]
Simplificando os termos:
[cccc|cccc 1 & 0 & 0 & 0 & 1326 + 3156 & -26156 + 1156 & -378 & 0 0 & 1 & 0 & 0 & 126 & 13 + 126 & 113 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & -326 & -126 & 313 & 0 0 & 0 & 0 & 5 & 0 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 10

Por fim, vamos tratar da quarta linha. Queremos que o quarto elemento seja 1, então dividimos a quarta linha por 5:
[cccc|cccc 1 & 0 & 0 & 0 & 1326 + 3156 & -26156 + 1156 & -378 & 0 0 & 1 & 0 & 0 & 126 & 13 + 126 & 113 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & -326 & -126 & 313 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 15 ]

Resposta

Depois de realizar todas as operações, a matriz inversa de A é:
A^-1 = [cccc 1326 + 3156 & -26156 + 1156 & -378 & 0 126 & 13 + 126 & 113 & 0 -326 & -126 & 313 & 0 0 & 0 & 0 & 15 )
Simplificando os termos:
A^-1 = [cccc 36 + 152 & -25156 & -126 & 0 126 & 926 + 126 & 226 & 0 -326 & -126 & 626 & 0 0 & 0 & 0 & 15 )
Ou, de forma mais simplificada:
A^-1 = [cccc 2752 & -25156 & -126 & 0 126 & 1026 & 226 & 0 -326 & -126 & 626 & 0 0 & 0 & 0 & 15 ]

Exercícios relacionados