Dado o ponto A=(4,0,-3) e o vetor \vec{w}=\langle 1,-2,5\rangle, encontre o ponto B tal que \overrightarrow{A B}=3 \vec{w}.

Passo 1

Resumindo, temos o ponto A=(4,0,-3) e o vetor \vec{w}=\langle1,-2,5\rangle. Queremos achar o ponto B tal que \overrightarrow{AB}=3\vec{w}. O conteúdo é vetores em \mathbb{R}^3, usando multiplicação de vetor por escalar e soma de vetores.

Passo 2

Primeiro, calculamos o vetor 3\vec{w}. Esse procedimento consiste em multiplicar cada componente de \vec{w} por 3:
3\vec{w} = 3 \langle 1, -2, 5 \rangle = \langle 3, -6, 15 \rangle.

Passo 3

Para relacionar B com A e o vetor desejado, usamos a definição de vetor deslocamento: \overrightarrow{AB} = B - A. Como queremos \overrightarrow{AB} = 3\vec{w}, basta somar A ao vetor 3\vec{w}:
B = A + 3\vec{w}.

Passo 4

Agora, somamos as coordenadas de A com as de 3\vec{w} componente a componente:
B = (4,0,-3) + \langle 3, -6, 15 \rangle = (4+3,\;0-6,\;-3+15) = (7,\;-6,\;12).

Resposta

B = (7,-6,12)

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