Seja M=(-2,5,1). Determine um ponto N de modo que o vetor \overrightarrow{M N} tenha a mesma direção e sentido que \vec{u}=\langle 2,1,3\rangle e módulo igual ao dobro de |\vec{u}|.

Passo 1

O enunciado dá o ponto M=(-2,5,1) e o vetor \vec{u}=\langle 2,1,3\rangle, e pede um ponto N tal que \overrightarrow{MN} seja paralelo a \vec{u}, com mesmo sentido, e com comprimento igual ao dobro de |\vec{u}|. O conteúdo envolve vetores, múltiplos escalares e norma.

Passo 2

Calculamos a norma de \vec{u}:
|\vec{u}|=\sqrt{2^2+1^2+3^2}=\sqrt{4+1+9}=\sqrt{14}.

Passo 3

Como \overrightarrow{MN} deve ser paralelo a \vec{u} e ter o mesmo sentido, existe k>0 tal que
\overrightarrow{MN}=k\,\vec{u}.
Queremos |\overrightarrow{MN}|=2\,|\vec{u}|. Mas
|\overrightarrow{MN}|=|k|\,|\vec{u}|=k\sqrt{14}.
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k\sqrt{14}=2\sqrt{14}\quad\Rightarrow\quad k=2.

Passo 4

Substituindo k=2, temos
\overrightarrow{MN}=2\vec{u}=2\langle 2,1,3\rangle=\langle 4,2,6\rangle.
Portanto
N=M+\overrightarrow{MN}=(-2,5,1)+\langle 4,2,6\rangle=( -2+4,\;5+2,\;1+6)=(2,7,7).

Resposta

N=(2,7,7)

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