Prove por indução que as seguintes fórmulas são verdadeiras.
(f) 1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots+n^{3}=\frac{n^{2}(n+2)^{2}}{4}, para todo inteiro n \geq 1.

Passo 1

O enunciado pede para provar, por indução, que a fórmula abaixo é verdadeira para todo inteiro n\ge 1:
1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots+n^{3}=\frac{n^{2}(n+2)^{2}}{4}.
Informações dadas:
  • A soma dos cubos dos inteiros de 1 até n é escrita no lado esquerdo.
  • O lado direito é uma expressão algébrica em n: \dfrac{n^{2}(n+2)^{2}}{4}.
    O objetivo explícito é: demonstrar que a igualdade vale para todo inteiro n\ge 1.

Passo 2

Verificação do primeiro caso ( n=1) para testar a fórmula tal como dada.
Calcular os dois lados para n=1:
\text{LHS} = 1^{3} = 1, \qquad \text{RHS} = \frac{1^{2}(1+2)^{2}}{4}=\frac{1\cdot 3^{2}}{4}=\frac{9}{4}=2{,}25.
Como 1 \neq \dfrac{9}{4}, a fórmula dada NÃO é verdadeira para n=1. Portanto, tal qual está escrita, a afirmação é falsa para n\ge 1.

Passo 3

Interpretação e correção natural: existe uma identidade clássica conhecida para a soma dos cubos:
1^{3}+2^{3}+\cdots+n^{3}=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^{2}=\frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}.
Provando que isto é plausível: para n=1 a RHS desta fórmula corrigida é \dfrac{1^{2}\cdot 2^{2}}{4}=\dfrac{4}{4}=1, que coincide com a LHS. Portanto faz sentido provar esta identidade (provavelmente houve um erro de digitação no enunciado, trocando n+1 por n+2). Vou provar por indução a fórmula correta
\sum_{i=1}^{n} i^{3} = \frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4},
porque a dada é falsa.

Passo 4

Explicando o método (princípio da indução matemática) de forma simples e clara:
  • Base (caso inicial): verificar que a afirmação vale para n=1.
  • Passo indutivo: assumir que a afirmação vale para algum inteiro arbitrário k\ge 1 (essa é a hipótese de indução) e então mostrar que, sob essa hipótese, a afirmação vale para k+1.
    Se conseguirmos ambos, então a afirmação vale para todo n\ge 1. Pense na indução como “empurrar” a verdade do caso 1 para 2, do 2 para 3, e assim por diante.

Passo 5

Verificação da base para a fórmula correta:
Para n=1,
\text{LHS}=1^{3}=1, \qquad \text{RHS}=\frac{1^{2}(1+1)^{2}}{4}=\frac{1\cdot 2^{2}}{4}=\frac{4}{4}=1.
Logo a igualdade vale para n=1. Base verificada.

Passo 6

Hipótese de indução:
Suponha que para algum inteiro k\ge 1 valha
\sum_{i=1}^{k} i^{3} = \frac{k^{2}(k+1)^{2}}{4}.
Esta é a hipótese que vamos usar para demonstrar o caso k+1.

Passo 7

Passo indutivo — escrever a soma até k+1 em função da soma até k:
\sum_{i=1}^{k+1} i^{3} = \left(\sum_{i=1}^{k} i^{3}\right) + (k+1)^{3}.
Pelo que assumimos na hipótese de indução, substituímos \sum_{i=1}^{k} i^{3} pela sua expressão:
\sum_{i=1}^{k+1} i^{3} = \frac{k^{2}(k+1)^{2}}{4} + (k+1)^{3}.

Passo 8

Algebra detalhada para mostrar que a expressão acima é igual à fórmula com n=k+1.
Colocar tudo sobre o mesmo denominador 4:
\sum_{i=1}^{k+1} i^{3} = \frac{k^{2}(k+1)^{2} + 4(k+1)^{3}}{4}.
Agora fatorar (k+1)^{2} no numerador (explicando o porquê: ambos os termos têm potência (k+1)^{2} em comum — o primeiro termo tem exatamente esse fator; o segundo termo tem (k+1)^{3}=(k+1)^{2}\cdot(k+1), então podemos extrair (k+1)^{2} como fator comum):
k^{2}(k+1)^{2} + 4(k+1)^{3} = (k+1)^{2}\bigl(k^{2} + 4(k+1)\bigr).
Desenvolver o que está dentro dos parênteses:
k^{2} + 4(k+1) = k^{2} + 4k + 4 = (k+2)^{2}.
Portanto o numerador fica
(k+1)^{2}(k+2)^{2}.
Assim
\sum_{i=1}^{k+1} i^{3} = \frac{(k+1)^{2}(k+2)^{2}}{4}.

Passo 9

Interpretação do resultado do passo anterior: mostramos que, se a fórmula vale para n=k,
\sum_{i=1}^{k} i^{3} = \frac{k^{2}(k+1)^{2}}{4},
então necessariamente vale para n=k+1:
\sum_{i=1}^{k+1} i^{3} = \frac{(k+1)^{2}(k+2)^{2}}{4}.
Esse é exatamente o esquema de indução: base (Passo 5) verdadeira e passo indutivo (Passos 6–9) estabelecido, então a fórmula correta é verdadeira para todo inteiro n\ge 1.

Passo 10

Conclusão final e observação amistosa: a fórmula que o enunciado deu com (n+2) no lugar de (n+1) está incorreta (falha já em n=1). A identidade correta e clássica — provada acima por indução — é
\sum_{i=1}^{n} i^{3} = \frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}.
A prova por indução foi completa: base e passo indutivo verificados. Dá para aplicar o mesmo tipo de raciocínio em várias somas com padrão (por exemplo soma de inteiros, soma de quadrados) — é um truque muito útil para provas rápidas em prova de faculdade. Força aí, você já entendeu o esquema!

Resposta

\sum_{i=1}^{n} i^{3} = \frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}

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