Prove por indução que as seguintes fórmulas são verdadeiras.
(f)
, para todo inteiro
.
(f)
Passo 1
O enunciado pede para provar, por indução, que a fórmula abaixo é verdadeira para todo inteiro
:
Informações dadas:
- A soma dos cubos dos inteiros de
até é escrita no lado esquerdo. - O lado direito é uma expressão algébrica em
: .
O objetivo explícito é: demonstrar que a igualdade vale para todo inteiro.
Passo 2
Verificação do primeiro caso (
) para testar a fórmula tal como dada.
Calcular os dois lados para :
Calcular os dois lados para
Como
, a fórmula dada NÃO é verdadeira para
. Portanto, tal qual está escrita, a afirmação é falsa para
.
Passo 3
Interpretação e correção natural: existe uma identidade clássica conhecida para a soma dos cubos:
Provando que isto é plausível: para
a RHS desta fórmula corrigida é
, que coincide com a LHS. Portanto faz sentido provar esta identidade (provavelmente houve um erro de digitação no enunciado, trocando
por
). Vou provar por indução a fórmula correta
porque a dada é falsa.
Passo 4
Explicando o método (princípio da indução matemática) de forma simples e clara:
- Base (caso inicial): verificar que a afirmação vale para
. - Passo indutivo: assumir que a afirmação vale para algum inteiro arbitrário
(essa é a hipótese de indução) e então mostrar que, sob essa hipótese, a afirmação vale para .
Se conseguirmos ambos, então a afirmação vale para todo. Pense na indução como “empurrar” a verdade do caso para , do para , e assim por diante.
Passo 5
Verificação da base para a fórmula correta:
Para ,
Para
Logo a igualdade vale para
. Base verificada.
Passo 6
Hipótese de indução:
Suponha que para algum inteiro valha
Suponha que para algum inteiro
Esta é a hipótese que vamos usar para demonstrar o caso
.
Passo 7
Passo indutivo — escrever a soma até
em função da soma até
:
Pelo que assumimos na hipótese de indução, substituímos
pela sua expressão:
Passo 8
Algebra detalhada para mostrar que a expressão acima é igual à fórmula com
.
Colocar tudo sobre o mesmo denominador :
Colocar tudo sobre o mesmo denominador
Agora fatorar
no numerador (explicando o porquê: ambos os termos têm potência
em comum — o primeiro termo tem exatamente esse fator; o segundo termo tem
, então podemos extrair
como fator comum):
Desenvolver o que está dentro dos parênteses:
Portanto o numerador fica
Assim
Passo 9
Interpretação do resultado do passo anterior: mostramos que, se a fórmula vale para
,
então necessariamente vale para
:
Esse é exatamente o esquema de indução: base (Passo 5) verdadeira e passo indutivo (Passos 6–9) estabelecido, então a fórmula correta é verdadeira para todo inteiro
.
Passo 10
Conclusão final e observação amistosa: a fórmula que o enunciado deu com
no lugar de
está incorreta (falha já em
). A identidade correta e clássica — provada acima por indução — é
A prova por indução foi completa: base e passo indutivo verificados. Dá para aplicar o mesmo tipo de raciocínio em várias somas com padrão (por exemplo soma de inteiros, soma de quadrados) — é um truque muito útil para provas rápidas em prova de faculdade. Força aí, você já entendeu o esquema!