1. Encontre uma solução periódica estacionária da equação diferencial x^prime prime+2 x=F(t), onde F(t) é a função par de período 2 pi com F(t)=sen(t) se 0<t<pi.

Passo 1

O enunciado pede a solução periódica estacionária de
x'' + 2x = F(t),
onde F é par, de período 2pi, e em (0,pi) vale F(t)=sin(t). Vamos usar séries de Fourier para F(t) em [-pi,pi] e depois determinar a resposta em regime permanente, ou seja, o particular periódico de
x''+2x=F(t)

Passo 2

Como
com
Calculamos primeiro
Para , use

e note que
(\int_0^\pi\sin(m t),dt= í]

Passo 3

Dessa conta obtemos que an=0 para n ímpar, e para n=2m (par) temos
a2m =2pil[12m+1-12m-1r] =2pi,-2(2m-1)(2m+1) =-4pi(4m^2-1)
Portanto
F(t) =2pi +summ=1^inftyl(-4pi(4m^2-1)r)cos(2m,t)

Passo 4

Para cada termo da forma cos(n t) na força, o particular periódico de
x''+2x=cos(n t)
é cos(n t)2-n^2. E o termo constante a0/2 gera
a0/22=a04. Assim, o particular é
xp(t) =1pi +summ=1^infty -4/[pi(4m^2-1)]2-(2m)^2,cos(2m,t)

Passo 5

Simplificando o coeficiente:
2-(2m)^2=2-4m^2=-2(2m^2-1),
temos
-4pi(4m^2-1)cdot1-2(2m^2-1) =2pi,(4m^2-1)(2m^2-1)
Portanto a solução periódica estacionária é
xp(t) =1pi +summ=1^infty 2pi,(2m^2-1)(4m^2-1), cos(2m,t)

Resposta

boxed xp(t) =1pi +summ=1^infty 2pi,(2m^2-1)(4m^2-1), cos(2m,t)

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