- Encontre uma solução periódica estacionária da equação diferencial
, onde
é a função par de período
com
se
.
Passo 1
O enunciado pede a solução periódica estacionária de
onde
é par, de período
, e em
vale
. Vamos usar séries de Fourier para
em
e depois determinar a resposta em regime permanente, ou seja, o particular periódico de
Passo 2
Como
com
Calculamos primeiro
Para
, use
e note que
(\int_0^\pi\sin(m t),dt= ]
e note que
(\int_0^\pi\sin(m t),dt=
Passo 3
Dessa conta obtemos que
para
ímpar, e para
(par) temos
Portanto
Passo 4
Para cada termo da forma
na força, o particular periódico de
é
. E o termo constante
gera
. Assim, o particular é
Passo 5
Simplificando o coeficiente:
temos
Portanto a solução periódica estacionária é