Dado o problema de valor inicial:
Encontre a sua solução e determine
:
Resposta:
Resposta:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação diferencial de segunda ordem:
E também nos fornece duas condições iniciais:
Nosso objetivo é encontrar a função
que satisfaz essa equação e depois calcular
.
Para resolver isso, vamos precisar integrar a equação diferencial duas vezes, utilizando as condições iniciais para encontrar as constantes de integração. Vamos juntos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos integrar a segunda derivada
para encontrar a primeira derivada
.
Sabemos que:
Para encontrar
, integramos
em relação a
:
A integral de
é
, então:
Passo 3
Agora, vamos usar a condição inicial
para encontrar a constante
.
Substituindo
na expressão de
:
Resolvendо para
:
Então, a primeira derivada é:
Passo 4
Agora, vamos integrar
para encontrar a função
.
Temos:
Integrando em relação a
:
Passo 5
Agora, usamos a condição inicial
para encontrar a constante
.
Substituindo
na expressão de
:
Então, a função completa é:
Passo 6
Finalmente, vamos calcular
.
Substituindo
na função:
Calculando passo a passo:
Então: