Dado o problema de valor inicial:
f^prime prime(x)=3 raizx, f^prime(1)=-1 e f(0)=32
Encontre a sua solução e determine f(2) :
Resposta: square

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação diferencial de segunda ordem:
f''(x) = 3 raizx
E também nos fornece duas condições iniciais:
f'(1) = -1 e f(0) = 32
Nosso objetivo é encontrar a função f(x) que satisfaz essa equação e depois calcular f(2) .
Para resolver isso, vamos precisar integrar a equação diferencial duas vezes, utilizando as condições iniciais para encontrar as constantes de integração. Vamos juntos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a segunda derivada f''(x) para encontrar a primeira derivada f'(x) .
Sabemos que:
f''(x) = 3 raizx = 3 x^1/2
Para encontrar f'(x) , integramos f''(x) em relação a x :
f'(x) = integral 3 x^1/2 , dx
A integral de x^n é x^n+1n+1 , então:
f'(x) = 3 cdot x^3/23/2 + C1 = 2 x^3/2 + C1

Passo 3

Agora, vamos usar a condição inicial f'(1) = -1 para encontrar a constante C1 .
Substituindo x = 1 na expressão de f'(x) :
-1 = 2 (1)^3/2 + C1 -1 = 2 cdot 1 + C1 -1 = 2 + C1
Resolvendо para C1 :
C1 = -1 - 2 = -3
Então, a primeira derivada é:
f'(x) = 2 x^3/2 - 3

Passo 4

Agora, vamos integrar f'(x) para encontrar a função f(x) .
Temos:
f'(x) = 2 x^3/2 - 3
Integrando em relação a x :
f(x) = integral (2 x^3/2 - 3) , dx = 2 cdot x^5/25/2 - 3x + C2 = 45 x^5/2 - 3x + C2

Passo 5

Agora, usamos a condição inicial f(0) = 32 para encontrar a constante C2 .
Substituindo x = 0 na expressão de f(x) :
32 = 45 (0)^5/2 - 3(0) + C2 32 = 0 - 0 + C2 C2 = 32
Então, a função completa é:
f(x) = 45 x^5/2 - 3x + 32

Passo 6

Finalmente, vamos calcular f(2) .
Substituindo x = 2 na função:
f(2) = 45 (2)^5/2 - 3(2) + 32
Calculando passo a passo:
2^5/2 = (2^1/2)^5 = (raiz2)^5 = 2^2 cdot raiz2 = 4 raiz2
Então:
f(2) = 45 cdot 4 raiz2 - 6 + 32 = 165 raiz2 + 26

Resposta

f(2) = 26 + 165 raiz2

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