Encontre a solução da equação
d^2 yd x^2=x
sabendo que y=7 quando x=0 e que d yd x=4 quando x=2
Determine y quando x=3 na forma de fração irredutível ab :
l a= b=

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A equação que temos é:
d^2 yd x^2 = x
Isso faz parte do conteúdo de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especificamente de equações diferenciais de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar integrar a equação duas vezes e usar as condições iniciais que foram dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a equação para encontrar a primeira derivada de y em relação a x . Quando integramos a segunda derivada, obtemos a primeira derivada:
dydx = integral x , dx = 12x^2 + C1
Aqui, C1 é a constante de integração que precisamos descobrir usando as condições fornecidas.

Passo 3

Agora, usamos a condição que nos foi dada: dydx = 4 quando x = 2 . Vamos substituir esses valores na equação que encontramos:
4 = 12(2)^2 + C1 4 = 12(4) + C1 4 = 2 + C1 C1 = 4 - 2 C1 = 2
Então, a primeira derivada fica:
dydx = 12x^2 + 2

Passo 4

Agora, vamos integrar novamente para encontrar a função y(x) . Integramos a primeira derivada:
y = integral ( 12x^2 + 2 ) dx = 16x^3 + 2x + C2
Aqui, C2 é outra constante de integração que vamos determinar usando a outra condição fornecida.

Passo 5

Usamos a condição y = 7 quando x = 0 para encontrar C2 :
7 = 16(0)^3 + 2(0) + C2 7 = 0 + 0 + C2 C2 = 7
Portanto, a solução geral da equação é:
y = 16x^3 + 2x + 7

Passo 6

Finalmente, queremos encontrar o valor de y quando x = 3 . Vamos substituir:
y(3) = 16(3)^3 + 2(3) + 7 y(3) = 16(27) + 6 + 7 y(3) = 4.5 + 6 + 7 y(3) = 17.5
Como o exercício pede a resposta na forma de uma fração irredutível, convertemos 17.5 para fração:
17.5 = 352

Resposta

l a=35 b=2

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