Determine a solução do Problema de Valor Inicial d yd t=-3 y+6 ; y(1)=1
Escolha uma opção:
y(t)=2-e^-3(t-1)
y(t)=e^2(t-1)
y(t)=sec t
y(t)=2 e^t-1-1
y(t)=e^t^33-t
Nenhuma das demais alternativas

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para resolver um Problema de Valor Inicial (PVI) da seguinte forma: a equação diferencial é dydt = -3y + 6 com a condição inicial y(1) = 1 . O conteúdo envolvido aqui é a resolução de equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar conhecer o método de solução de equações diferenciais lineares, que envolve encontrar um fator integrante ou usar a solução geral da equação homogênea e uma solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para identificar os elementos padrão de uma equação linear de primeira ordem, que tem a forma dydt + P(t)y = Q(t) .
Nossa equação é:
dydt = -3y + 6
Vamos rearrumar para:
dydt + 3y = 6
Aqui, P(t) = 3 e Q(t) = 6 .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante mu(t) , que é dado por:
mu(t) = e^integral P(t) dt
No nosso caso:
mu(t) = e^integral 3 dt = e^3t

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
e^3t dydt + 3 e^3t y = 6 e^3t
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto e^3t y :
ddt (e^3t y) = 6 e^3t

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a t :
integral ddt (e^3t y) dt = integral 6 e^3t dt
Isso resulta em:
e^3t y = 2 e^3t + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Agora, resolvemos para y(t) :
y(t) = 2 + C e^-3t

Passo 7

Aplicamos a condição inicial y(1) = 1 para encontrar C :
1 = 2 + C e^-3(1)
1 = 2 + C e^-3
C e^-3 = 1 - 2
C e^-3 = -1
C = - e^3

Passo 8

Substituímos C na solução geral:
y(t) = 2 - e^3 e^-3t
y(t) = 2 - e^-3(t - 1)

Resposta

A solução do problema é y(t) = 2 - e^-3(t - 1) . Então, a opção correta é:
y(t) = 2 - e^-3(t-1)

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