Determine a solução do Problema de Valor Inicial
Escolha uma opção:
Nenhuma das demais alternativas
Escolha uma opção:
Nenhuma das demais alternativas
Passo 1
Vamos lá! O enunciado pede para resolver um Problema de Valor Inicial (PVI) da seguinte forma: a equação diferencial é
com a condição inicial
. O conteúdo envolvido aqui é a resolução de equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar conhecer o método de solução de equações diferenciais lineares, que envolve encontrar um fator integrante ou usar a solução geral da equação homogênea e uma solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para identificar os elementos padrão de uma equação linear de primeira ordem, que tem a forma
.
Nossa equação é:
Vamos rearrumar para:
Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante
, que é dado por:
No nosso caso:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
Isso resulta em:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, resolvemos para
:
Passo 7
Aplicamos a condição inicial
para encontrar
:
Passo 8
Substituímos
na solução geral:
Resposta
A solução do problema é
. Então, a opção correta é: