Dado o problema de valor inicial:
f^{\prime \prime}(x)=2 x^{-1 / 3}, f^{\prime}(1)=4, f(0)=2.
Assinale a alternativa correta:
Escolha uma opção:
Nenhuma das demais alternativas
Não existem soluções de equilíbrio para a equação diferencial dada.
A solução do PVI é f(x)=\frac{9}{5} x^{2 / 3}+x+2.
Quando x \rightarrow \infty, f(x) converge para \frac{9}{5}.
A solução geral da equação diferencial é f(x)=3 x^{2 / 3}+C x+D.
Se f(0)=5, a nova solução seria f(x)=\frac{9}{5} x^{5 / 3}+x+5.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
f''(x)=2\,x^{-1/3},\quad f'(1)=4,\quad f(0)=2.
O conteúdo é integrar duas vezes a equação diferencial e usar as condições iniciais para determinar as constantes de integração.

Passo 2

Integramos uma vez para obter f'(x):
f'(x)=\int 2\,x^{-1/3}\,dx =2\cdot\frac{x^{2/3}}{2/3}+C =3\,x^{2/3}+C.

Passo 3

Aplicamos a condição f'(1)=4:
f'(1)=3\cdot1^{2/3}+C=3+C=4 \quad\Longrightarrow\quad C=1.
Assim,
f'(x)=3\,x^{2/3}+1.

Passo 4

Integramos novamente para obter f(x):
f(x)=\int\bigl(3\,x^{2/3}+1\bigr)\,dx =3\cdot\frac{x^{5/3}}{5/3}+x+D =\frac{9}{5}\,x^{5/3}+x+D.

Passo 5

Usamos f(0)=2 para determinar D:
f(0)=\frac{9}{5}\,0^{5/3}+0+D=2 \quad\Longrightarrow\quad D=2.
Logo a solução do PVI é
f(x)=\frac{9}{5}\,x^{5/3}+x+2.

Passo 6

Analisando as alternativas:
  • “A solução do PVI é f(x)=\frac{9}{5}x^{2/3}+x+2” está errada no expoente.
  • “Quando x\to\infty, f(x) converge para \tfrac{9}{5}” é falso (vai a +\infty).
  • “A solução geral é f(x)=3x^{2/3}+Cx+D” também está trocando f' por f.
  • Se mudarmos apenas f(0)=2 para f(0)=5, mantemos C=1 e obtemos D=5, logo
f(x)=\frac{9}{5}\,x^{5/3}+x+5,
o que coincide com a quinta alternativa.

Resposta

Se f(0)=5, a nova solução seria
f(x)=\frac{9}{5}\,x^{5/3}+x+5.

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