Um lote de um determinado produto tem 90 peças. O teste de qualidade do lote consiste em escolher aleatoriamente 5 peças, sem reposição, para exame. O lote é reprovado se qualquer uma das peças escolhidas apresentar defeito. Determine a probabilidade, na forma de uma fração irredutível \frac{a}{b}, do lote não ser reprovado se ele contiver 10 peças defeituosas.
Qual o valor de a+b ?

Passo 1

O enunciado fala de um lote com 90 peças, das quais 10 são defeituosas e 80 são boas. Selecionam-se 5 peças sem reposição e o lote só não é reprovado se nenhuma das 5 peças escolhidas for defeituosa. O conteúdo envolve distribuição hipergeométrica (sem reposição).

Passo 2

Na distribuição hipergeométrica, a probabilidade de extrair k itens defeituosos em n tiragens de um universo de N itens com D defeituosos é
P(k)=\frac{\binom{D}{k}\,\binom{N-D}{\,n-k\,}}{\binom{N}{n}}.
Aqui queremos k=0, N=90, D=10, n=5, logo
P(\text{nenhum defeito}) =\frac{\binom{10}{0}\,\binom{80}{5}}{\binom{90}{5}} =\frac{\binom{80}{5}}{\binom{90}{5}}.

Passo 3

Expressamos as combinações e cancelamos fatoriais:
\frac{\binom{80}{5}}{\binom{90}{5}} =\frac{\tfrac{80\cdot79\cdot78\cdot77\cdot76}{5!}} {\tfrac{90\cdot89\cdot88\cdot87\cdot86}{5!}} =\frac{80\cdot79\cdot78\cdot77\cdot76}{90\cdot89\cdot88\cdot87\cdot86}.

Passo 4

Simplificando fator a fator:
\frac{80}{90}=\frac{8}{9},\quad \frac{78}{87}=\frac{26}{29},\quad \frac{76}{88}=\frac{19}{22},\quad \frac{8}{22}=\frac{4}{11},\quad \frac{26}{86}=\frac{13}{43},\quad \frac{77}{11}=7.
Após todas as simplificações, obtemos
\frac{546364}{998847}.

Passo 5

Aqui a=546364 e b=998847. Então
a+b=546364+998847=1545211.

Resposta

1545211

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