Dado o problema de valor inicial (PVI)
y^prime prime-2 y^prime+y=60 t^4 e^t, y(0)=0 e y^prime(0)=2
(b) Obtenha a sua solução.

Passo 1

O problema é resolver o PVI
Temos a EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 2y' + y = 60 t^4 e^t, y(0)=0, y'(0)=2
Conteúdo: método dos coeficientes indeterminados e operadores lineares.

Passo 2

Começamos pela solução geral da equação homogênea
A equação característica é
r^2 - 2r + 1 = 0 ,Longrightarrow, (r-1)^2=0 ,Longrightarrow, r=1 (raiz dupla)
Logo a solução homogênea é
yh(t) = C1 e^t + C2 t e^t

Passo 3

Para achar uma solução particular usamos o operador L=(D^2-2D+1)=(D-1)^2
Seja
yp(t) = e^t P(t),
então
L[yp] = (D-1)^2(e^t P(t)) = e^t P''(t)
Queremos L[yp]=60t^4 e^t, logo
P''(t) = 60 t^4

Passo 4

Assumimos P(t) como polinômio de grau 6, mas com termos de grau 2 a 6:
P(t) = A t^6 + B t^5 + C t^4 + D t^3 + E t^2
Calculamos
P''(t) = 30A t^4 + 20B t^3 + 12C t^2 + 6D t + 2E
e igualamos a 60t^4:
30A t^4 + 20B t^3 + 12C t^2 + 6D t + 2E = 60 t^4
Daí obtemos
A=2, B=C=D=E=0

Passo 5

Logo
P(t) = 2t^6,
e
yp(t) = 2t^6 e^t

Passo 6

A solução geral do PVI é
y(t) = yh(t) + yp(t) = C1 e^t + C2 t e^t + 2t^6 e^t

Passo 7

Aplicamos as condições iniciais
  1. y(0)=0 C1=0.
  2. Para y'(t), escrevemos
y(t)=e^t(C1 + C2 t + 2t^6)
y'(t)=e^t(C1 + C2 t + 2t^6) + e^t(C2 + 12t^5)
Logo
y'(0)=C1 + C2 = 2 Longrightarrow C2=2

Resposta

y(t)=2t e^t + 2t^6 e^t

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