Sejam
processos estocásticos Gaussianos, independentes, com média zero e mesma função de covariância
. O sinal
modulado em amplitude é definido por:
Passo 1
Enunciado e o que é pedido (dados e perguntas).
- Dados: temos dois processos estocásticos Gaussianos
e , independentes entre si, com média zero e mesma função de covariância . - Definição do sinal modulado em amplitude:
- Perguntas (inferidas do enunciado típico):
- Mostrar que
é um processo estocástico Gaussiano; - Calcular a média de
; - Calcular a função de covariância (autocovariância)
; - Dizer quando
é estacionário em termos de .
- Mostrar que
Passo 2
Conceito importante 1 — o que significa “processo Gaussiano” e por que combinações lineares permanecem gaussianas.
- Definição prática: um processo estocástico é Gaussiano se, para qualquer número finito de tempos
, o vetor aleatório tem distribuição multivariada normal. - Propriedade chave (que vamos usar): qualquer combinação linear de variáveis gaussianas (juntas) é ainda uma variável gaussiana. Mais precisamente, se
e são gaussianas (ou um vetor gaussiano), então é gaussiana para quaisquer escalares . - Consequência para processos: se
e são processos gaussianos e, para cada conjunto finito de instantes , o vetor conjunto é vetorialmente gaussiano, então qualquer combinação linear pontual como produz, para qualquer conjunto finito de tempos, um vetor que é combinação linear do vetor gaussiano original — logo é gaussiano.
(Isto é o argumento geral que mostra queé processo Gaussiano.)
Passo 3
Aplicando a propriedade: mostrar formalmente que
é Gaussiano.
- Para qualquer
e qualquer conjunto de tempos consideramos o vetor conjunto
Esse vetor é gaussiano porque
e
são processos gaussianos (e estamos tomando todas as coordenadas).
- O vetor
é obtido aplicando combinações lineares a esse vetor (cada é multiplicado por mais multiplicado por ). Como combinações lineares de variáveis gaussianas resultam em gaussianas, o vetor é gaussiano para todo . - Conclusão:
é um processo estocástico Gaussiano. (Resultado pedido 1 resolvido.)
Passo 4
Cálculo da média de
.
- Lembre a definição de média (esperança): para uma variável aleatória
, é seu valor esperado. Para processos, fazemos ponto a ponto. - Dados:
e para todo . - Calcule a média de
:
Usando linearidade da esperança:
Substituindo as médias dadas:
- Conclusão: a média de
é zero para todo . (Resultado pedido 2.)
Passo 5
Definição e estratégia para calcular a função de covariância
.
- Definição: para variáveis de média zero, a covariância é
. Aqui usamos médias zero, então
- Vamos expandir o produto e usar a linearidade da esperança. Depois eliminamos termos cruzados usando independência entre
e e usaremos que e têm a mesma função de covariância .
Passo 6
Expansão e uso da independência e mesmas covariâncias.
- Expanda o produto:
- Agora usar hipóteses: como
e são independentes (processos independentes), para quaisquer tempos temos
Logo os dois termos cruzados somam zero.
- Além disso
e (foi dado que têm a mesma função de covariância). Substituindo,
Passo 7
Uso de identidade trigonométrica para simplificar.
- Identidade útil (que convém decorar): para quaisquer ângulos
,
- Aplicando com
e obtemos
- Portanto a expressão da covariância fica
(Isto responde a pergunta 3.)
Passo 8
Interpretação e condição de estacionaridade para
.
- Lembre: um processo é fraca (wide-sense) estacionário se sua média é constante no tempo e sua função de covariância depende apenas da diferença de tempos
. - Nós já vimos que
(constante). Para a covariância, temos
- Se a função
original for estacionária, isto é, , então a expressão acima depende apenas de :
que depende só de
. Assim, neste caso
é também (fraca) estacionário.
- Se
não depende somente de , então não depende apenas da diferença e não será estacionário em geral.
Passo 9
Resumo didático rápido (como lembrar isso na prova).
- Regra prática: combinação linear de gaussianas → gaussiana. Se você tem dois processos gaussianos independentes multiplicados por funções determinísticas (aqui
e ), o novo processo é gaussiano; calcule média por linearidade; calcule covariância expandindo e eliminando termos cruzados por independência; use identidade trig para combinar. - Dica mnemônica: a chave da covariância é sempre lembrar dos termos
e que juntam para um da diferença.
Resposta
Se