Sejam X(t) e Y(t) processos estocásticos Gaussianos, independentes, com média zero e mesma função de covariância \mathrm{C}\left(t_{1}, t_{2}\right). O sinal Z(t) modulado em amplitude é definido por:
Z(t)=X(t) \cos \omega t+Y(t) \operatorname{sen} \omega t

Passo 1

Enunciado e o que é pedido (dados e perguntas).
  • Dados: temos dois processos estocásticos Gaussianos X(t) e Y(t), independentes entre si, com média zero e mesma função de covariância \mathrm{C}\left(t_{1},t_{2}\right).
  • Definição do sinal modulado em amplitude:
Z(t)=X(t)\cos\omega t + Y(t)\sin\omega t
  • Perguntas (inferidas do enunciado típico):
    1. Mostrar que Z(t) é um processo estocástico Gaussiano;
    2. Calcular a média de Z(t);
    3. Calcular a função de covariância (autocovariância) \mathbb{E}\big[Z(t_{1})Z(t_{2})\big];
    4. Dizer quando Z(t) é estacionário em termos de \mathrm{C}.

Passo 2

Conceito importante 1 — o que significa “processo Gaussiano” e por que combinações lineares permanecem gaussianas.
  • Definição prática: um processo estocástico é Gaussiano se, para qualquer número finito de tempos t_{1},\dots,t_{n}, o vetor aleatório \big(X(t_{1}),\dots,X(t_{n})\big) tem distribuição multivariada normal.
  • Propriedade chave (que vamos usar): qualquer combinação linear de variáveis gaussianas (juntas) é ainda uma variável gaussiana. Mais precisamente, se U e V são gaussianas (ou um vetor gaussiano), então aU + bV é gaussiana para quaisquer escalares a,b.
  • Consequência para processos: se X(t) e Y(t) são processos gaussianos e, para cada conjunto finito de instantes \{t_i\}, o vetor conjunto \{X(t_i),Y(t_i)\} é vetorialmente gaussiano, então qualquer combinação linear pontual como Z(t)=X(t)\cos\omega t + Y(t)\sin\omega t produz, para qualquer conjunto finito de tempos, um vetor que é combinação linear do vetor gaussiano original — logo é gaussiano.
    (Isto é o argumento geral que mostra que Z(t) é processo Gaussiano.)

Passo 3

Aplicando a propriedade: mostrar formalmente que Z(t) é Gaussiano.
  • Para qualquer n e qualquer conjunto de tempos t_{1},\dots,t_{n} consideramos o vetor conjunto
\big(X(t_{1}),Y(t_{1}),X(t_{2}),Y(t_{2}),\dots,X(t_{n}),Y(t_{n})\big).
Esse vetor é gaussiano porque X e Y são processos gaussianos (e estamos tomando todas as coordenadas).
  • O vetor \big(Z(t_{1}),\dots,Z(t_{n})\big) é obtido aplicando combinações lineares a esse vetor (cada Z(t_{k}) é \cos\omega t_{k} multiplicado por X(t_{k}) mais \sin\omega t_{k} multiplicado por Y(t_{k})). Como combinações lineares de variáveis gaussianas resultam em gaussianas, o vetor \big(Z(t_{1}),\dots,Z(t_{n})\big) é gaussiano para todo n.
  • Conclusão: Z(t) é um processo estocástico Gaussiano. (Resultado pedido 1 resolvido.)

Passo 4

Cálculo da média de Z(t).
  • Lembre a definição de média (esperança): para uma variável aleatória W, \mathbb{E}[W] é seu valor esperado. Para processos, fazemos ponto a ponto.
  • Dados: \mathbb{E}[X(t)]=0 e \mathbb{E}[Y(t)]=0 para todo t.
  • Calcule a média de Z(t):
\mathbb{E}\big[Z(t)\big] = \mathbb{E}\big[X(t)\cos\omega t + Y(t)\sin\omega t\big].
Usando linearidade da esperança:
\mathbb{E}\big[Z(t)\big] = \cos\omega t\,\mathbb{E}\big[X(t)\big] + \sin\omega t\,\mathbb{E}\big[Y(t)\big].
Substituindo as médias dadas:
\mathbb{E}\big[Z(t)\big] = \cos\omega t\cdot 0 + \sin\omega t\cdot 0 = 0.
  • Conclusão: a média de Z(t) é zero para todo t. (Resultado pedido 2.)

Passo 5

Definição e estratégia para calcular a função de covariância \mathbb{E}\big[Z(t_{1})Z(t_{2})\big].
  • Definição: para variáveis de média zero, a covariância é \mathbb{E}[U V]. Aqui usamos médias zero, então
\mathbb{E}\big[Z(t_{1})Z(t_{2})\big] = \mathbb{E}\Big[\big(X(t_{1})\cos\omega t_{1} + Y(t_{1})\sin\omega t_{1}\big)\big(X(t_{2})\cos\omega t_{2} + Y(t_{2})\sin\omega t_{2}\big)\Big].
  • Vamos expandir o produto e usar a linearidade da esperança. Depois eliminamos termos cruzados usando independência entre X e Y e usaremos que X e Y têm a mesma função de covariância \mathrm{C}.

Passo 6

Expansão e uso da independência e mesmas covariâncias.
  • Expanda o produto:
\begin{aligned} \mathbb{E}\big[Z(t_{1})Z(t_{2})\big] &= \cos\omega t_{1}\cos\omega t_{2}\,\mathbb{E}\big[X(t_{1})X(t_{2})\big] \\\ &\quad + \sin\omega t_{1}\sin\omega t_{2}\,\mathbb{E}\big[Y(t_{1})Y(t_{2})\big] \\\ &\quad + \cos\omega t_{1}\sin\omega t_{2}\,\mathbb{E}\big[X(t_{1})Y(t_{2})\big] \\\ &\quad + \sin\omega t_{1}\cos\omega t_{2}\,\mathbb{E}\big[Y(t_{1})X(t_{2})\big]. \end{aligned}
  • Agora usar hipóteses: como X e Y são independentes (processos independentes), para quaisquer tempos s,t temos
\mathbb{E}\big[X(s)Y(t)\big] = \mathbb{E}\big[X(s)\big]\mathbb{E}\big[Y(t)\big] = 0\cdot 0 = 0.
Logo os dois termos cruzados somam zero.
  • Além disso \mathbb{E}\big[X(t_{1})X(t_{2})\big] = \mathrm{C}\big(t_{1},t_{2}\big) e \mathbb{E}\big[Y(t_{1})Y(t_{2})\big] = \mathrm{C}\big(t_{1},t_{2}\big) (foi dado que têm a mesma função de covariância). Substituindo,
\mathbb{E}\big[Z(t_{1})Z(t_{2})\big] = \mathrm{C}\big(t_{1},t_{2}\big)\big(\cos\omega t_{1}\cos\omega t_{2} + \sin\omega t_{1}\sin\omega t_{2}\big).

Passo 7

Uso de identidade trigonométrica para simplificar.
  • Identidade útil (que convém decorar): para quaisquer ângulos a,b,
\cos a\cos b + \sin a\sin b = \cos(a-b).
  • Aplicando com a=\omega t_{1} e b=\omega t_{2} obtemos
\cos\omega t_{1}\cos\omega t_{2} + \sin\omega t_{1}\sin\omega t_{2} = \cos\big(\omega t_{1}-\omega t_{2}\big) = \cos\big(\omega(t_{1}-t_{2})\big).
  • Portanto a expressão da covariância fica
\boxed{\mathbb{E}\big[Z(t_{1})Z(t_{2})\big] = \mathrm{C}\big(t_{1},t_{2}\big)\,\cos\big(\omega(t_{1}-t_{2})\big).}
(Isto responde a pergunta 3.)

Passo 8

Interpretação e condição de estacionaridade para Z(t).
  • Lembre: um processo é fraca (wide-sense) estacionário se sua média é constante no tempo e sua função de covariância depende apenas da diferença de tempos \tau=t_{1}-t_{2}.
  • Nós já vimos que \mathbb{E}[Z(t)]=0 (constante). Para a covariância, temos
\mathbb{E}\big[Z(t_{1})Z(t_{2})\big] = \mathrm{C}\big(t_{1},t_{2}\big)\,\cos\big(\omega(t_{1}-t_{2})\big).
  • Se a função \mathrm{C} original for estacionária, isto é, \mathrm{C}(t_{1},t_{2}) = \mathrm{C}(t_{1}-t_{2}), então a expressão acima depende apenas de \tau=t_{1}-t_{2}:
\mathbb{E}\big[Z(t_{1})Z(t_{2})\big] = \mathrm{C}(\tau)\,\cos(\omega\tau),
que depende só de \tau. Assim, neste caso Z(t) é também (fraca) estacionário.
  • Se \mathrm{C} não depende somente de \tau, então \mathbb{E}[Z(t_{1})Z(t_{2})] não depende apenas da diferença e Z não será estacionário em geral.

Passo 9

Resumo didático rápido (como lembrar isso na prova).
  • Regra prática: combinação linear de gaussianas → gaussiana. Se você tem dois processos gaussianos independentes multiplicados por funções determinísticas (aqui \cos\omega t e \sin\omega t), o novo processo é gaussiano; calcule média por linearidade; calcule covariância expandindo e eliminando termos cruzados por independência; use identidade trig para combinar.
  • Dica mnemônica: a chave da covariância é sempre lembrar dos termos \cos\cos e \sin\sin que juntam para um \cos da diferença.

Resposta

Z(t) é um processo estocástico Gaussiano.
\mathbb{E}\big[Z(t)\big]=0.
\displaystyle \mathbb{E}\big[Z(t_{1})Z(t_{2})\big]=\mathrm{C}\big(t_{1},t_{2}\big)\,\cos\big(\omega(t_{1}-t_{2})\big).
Se \mathrm{C}(t_{1},t_{2})=\mathrm{C}(t_{1}-t_{2}) (processos X,Y estacionários), então Z(t) é (fraca) estacionário com autocovariância \mathrm{C}(\tau)\cos(\omega\tau).

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