Sejam \mathrm{X}(\mathrm{t}) e \mathrm{Y}(\mathrm{t}) processos aleatórios independentes e estacionários no sentido amplo. \mathrm{Z}(\mathrm{t}) é definido por:
Z(t)=X(t) Y(t)
(a) Verifique se \mathrm{Z}(\mathrm{t}) é estacionário no sentido amplo.
(b) Encontre a expressão de S_{z}(f)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
Informações fornecidas:
  • São dados dois processos aleatórios independentes e estacionários no sentido amplo: X(t) e Y(t).
  • Define-se Z(t)=X(t)\,Y(t).
  • Para cada processo W\in\{X,Y\} denote-se a média por m_W=\mathbb{E}[W(t)] (constante, por estacionaridade no sentido amplo) e a função de autocorrelação por
R_W(\tau)=\mathbb{E}[W(t)W(t+\tau)],
e a função de autocovariância por
C_W(\tau)=\mathbb{E}\big[(W(t)-m_W)(W(t+\tau)-m_W)\big]=R_W(\tau)-m_W^2.
Perguntas pedidas:
(a) Verificar se Z(t) é estacionário no sentido amplo (ou seja: média constante e autocovariância que depende apenas do lag \tau).
(b) Encontrar a expressão do espectro de potência S_Z(f) associado a Z(t).

Passo 2

Definições e ideias que vamos usar (explicadas devagar):
  • Um processo é estacionário no sentido amplo (WSS) quando sua média \mathbb{E}[W(t)] é independente de t e sua função de autocovariância depende apenas do deslocamento \tau (não de t separadamente).
  • A densidade espectral de potência (PSD) S_W(f) de um processo WSS é a transformada de Fourier da função de autocovariância C_W(\tau) com a convenção
S_W(f)=\int_{-\infty}^{\infty} C_W(\tau)\,e^{-j2\pi f \tau}\,d\tau.
  • Dois processos X e Y serem independentes significa que, para quaisquer funções mensuráveis g e h,
\mathbb{E}\big[g(X(\cdot))\,h(Y(\cdot))\big]=\mathbb{E}\big[g(X(\cdot))\big]\;\mathbb{E}\big[h(Y(\cdot))\big].
No caso concreto, isso permite fatorar esperanças de produtos de funções de X e Y.

Passo 3

Cálculo da média de Z(t).
Usamos independência ponto a ponto (na forma generalizada indicada acima) para fatorar:
\mathbb{E}[Z(t)] = \mathbb{E}[X(t)Y(t)] = \mathbb{E}[X(t)]\,\mathbb{E}[Y(t)] = m_X\,m_Y.
Observações didáticas:
  • m_X e m_Y são constantes por hipótese de estacionaridade no sentido amplo de X e Y.
  • Logo \mathbb{E}[Z(t)] não depende de t; a primeira condição de WSS (média constante) está satisfeita.

Passo 4

Cálculo da função de autocorrelação de Z e verificação da dependência só em \tau.
Considere o lag \tau. A autocorrelação de Z é
R_Z(\tau)=\mathbb{E}[Z(t)\,Z(t+\tau)]=\mathbb{E}\big[X(t)Y(t)\,X(t+\tau)Y(t+\tau)\big].
Pela independência das famílias X(\cdot) e Y(\cdot) podemos separar a esperança em produto de esperanças:
R_Z(\tau)=\mathbb{E}\big[X(t)X(t+\tau)\big]\;\mathbb{E}\big[Y(t)Y(t+\tau)\big]=R_X(\tau)\,R_Y(\tau).
Observações didáticas:
  • Usei a propriedade de independência entre os vetores (X(t),X(t+\tau),\dots) e (Y(t),Y(t+\tau),\dots) que garante que a esperança do produto fatoriza.
  • Como R_X(\tau) e R_Y(\tau) dependem apenas de \tau (WSS para X e Y), o produto R_Z(\tau)=R_X(\tau)R_Y(\tau) depende apenas de \tau. Assim a autocorrelação de Z depende apenas do lag.
Agora passe para a autocovariância de Z:
C_Z(\tau)=R_Z(\tau)-\big(\mathbb{E}[Z(t)]\big)^2=R_X(\tau)R_Y(\tau)-m_X^2 m_Y^2.
Expandindo R_X(\tau)=C_X(\tau)+m_X^2 e R_Y(\tau)=C_Y(\tau)+m_Y^2 obtemos
\begin{aligned} C_Z(\tau) &= \big(C_X(\tau)+m_X^2\big)\big(C_Y(\tau)+m_Y^2\big)-m_X^2 m_Y^2\\\ &= C_X(\tau)C_Y(\tau) + m_X^2 C_Y(\tau) + m_Y^2 C_X(\tau). \end{aligned}
Comentário didático:
  • A expressão acima mostra que C_Z(\tau) depende apenas de \tau. Portanto a segunda condição de WSS (autocovariância só do lag) está satisfeita.
  • Conclusão parcial (respondendo (a)): Z(t) é estacionário no sentido amplo.

Passo 5

Cálculo da densidade espectral de potência S_Z(f).
Recordando a definição de PSD como transformada de Fourier de C_Z(\tau):
S_Z(f)=\int_{-\infty}^{\infty} C_Z(\tau)\,e^{-j2\pi f \tau}\,d\tau.
Substituindo a decomposição encontrada em Passo 4:
C_Z(\tau)=C_X(\tau)C_Y(\tau) + m_X^2 C_Y(\tau) + m_Y^2 C_X(\tau).
Aplicando a transformada de Fourier termo a termo e usando o teorema da convolução (a transformada de Fourier do produto no domínio do tempo é a convolução no domínio da frequência), obtemos
\begin{aligned} S_Z(f) &= \mathcal{F}\{C_X C_Y\}(f) + m_X^2\,\mathcal{F}\{C_Y\}(f) + m_Y^2\,\mathcal{F}\{C_X\}(f)\\\ &= \int_{-\infty}^{\infty} S_X(\nu)\,S_Y(f-\nu)\,d\nu \;+\; m_X^2\,S_Y(f) \;+\; m_Y^2\,S_X(f). \end{aligned}
Onde:
  • S_X(f)=\mathcal{F}\{C_X\}(f) e S_Y(f)=\mathcal{F}\{C_Y\}(f) são as PSDs de X e Y.
  • A integral \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} S_X(\nu)\,S_Y(f-\nu)\,d\nu é a convolução (S_X * S_Y)(f).
Forma compacta final:
S_Z(f) = (S_X * S_Y)(f) + m_X^2\,S_Y(f) + m_Y^2\,S_X(f).
Observações finais didáticas:
  • Se X e Y forem de média zero (isto é, m_X=m_Y=0), a expressão simplifica para
S_Z(f) = (S_X * S_Y)(f).
  • Intuição: o termo convolução vem do produto das partes com variância (autocovariâncias) e os termos lineares em S_X,S_Y aparecem por conta das médias não nulas.

Resposta

(a) Sim. Z(t) é estacionário no sentido amplo, pois \mathbb{E}[Z(t)]=m_X m_Y (constante) e R_Z(\tau)=R_X(\tau)R_Y(\tau) depende apenas de \tau.\n
(b) \displaystyle S_Z(f)=(S_X * S_Y)(f)+m_X^{2}S_Y(f)+m_Y^{2}S_X(f), ou explicitamente \displaystyle S_Z(f)=\int_{-\infty}^{\infty}S_X(\nu)\,S_Y(f-\nu)\,d\nu + m_X^{2}S_Y(f)+m_Y^{2}S_X(f).

Exercícios relacionados