Sejam
e
processos aleatórios independentes e estacionários no sentido amplo.
é definido por:
(a) Verifique se
é estacionário no sentido amplo.
(b) Encontre a expressão de
(b) Encontre a expressão de
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
Informações fornecidas:
- São dados dois processos aleatórios independentes e estacionários no sentido amplo:
e . - Define-se
. - Para cada processo
denote-se a média por (constante, por estacionaridade no sentido amplo) e a função de autocorrelação por
e a função de autocovariância por
Perguntas pedidas:
(a) Verificar se é estacionário no sentido amplo (ou seja: média constante e autocovariância que depende apenas do lag
).
(b) Encontrar a expressão do espectro de potência associado a
.
(a) Verificar se
(b) Encontrar a expressão do espectro de potência
Passo 2
Definições e ideias que vamos usar (explicadas devagar):
- Um processo é estacionário no sentido amplo (WSS) quando sua média
é independente de e sua função de autocovariância depende apenas do deslocamento (não de separadamente). - A densidade espectral de potência (PSD)
de um processo WSS é a transformada de Fourier da função de autocovariância com a convenção
- Dois processos
e serem independentes significa que, para quaisquer funções mensuráveis e ,
No caso concreto, isso permite fatorar esperanças de produtos de funções de
e
.
Passo 3
Cálculo da média de
.
Usamos independência ponto a ponto (na forma generalizada indicada acima) para fatorar:
Observações didáticas:
-
e são constantes por hipótese de estacionaridade no sentido amplo de e . - Logo
não depende de ; a primeira condição de WSS (média constante) está satisfeita.
Passo 4
Cálculo da função de autocorrelação de
e verificação da dependência só em
.
Considere o lag
. A autocorrelação de
é
Pela independência das famílias
e
podemos separar a esperança em produto de esperanças:
Observações didáticas:
- Usei a propriedade de independência entre os vetores
e que garante que a esperança do produto fatoriza. - Como
e dependem apenas de (WSS para e ), o produto depende apenas de . Assim a autocorrelação de depende apenas do lag.
Agora passe para a autocovariância de
:
Expandindo
e
obtemos
Comentário didático:
- A expressão acima mostra que
depende apenas de . Portanto a segunda condição de WSS (autocovariância só do lag) está satisfeita. - Conclusão parcial (respondendo (a)):
é estacionário no sentido amplo.
Passo 5
Cálculo da densidade espectral de potência
.
Recordando a definição de PSD como transformada de Fourier de
:
Substituindo a decomposição encontrada em Passo 4:
Aplicando a transformada de Fourier termo a termo e usando o teorema da convolução (a transformada de Fourier do produto no domínio do tempo é a convolução no domínio da frequência), obtemos
Onde:
-
e são as PSDs de e . - A integral
é a convolução .
Forma compacta final:
Observações finais didáticas:
- Se
e forem de média zero (isto é, ), a expressão simplifica para
- Intuição: o termo convolução vem do produto das partes com variância (autocovariâncias) e os termos lineares em
aparecem por conta das médias não nulas.
Resposta
(a) Sim.
é estacionário no sentido amplo, pois
(constante) e
depende apenas de
.\n
(b) , ou explicitamente
.
(b)