Verifique em cada um dos casos abaixo se lang<= u, vrang<= define um produto interno no espaço vetorial V dado.
(b) e a, b in R fixos e não nulos.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a fórmula
lang<= u,vrang<= = x x'a^2 + y y'b^2, u=(x,y), v=(x',y')in R^2
define um produto interno em V= R^2. O conteúdo é “produto interno” e vamos precisar checar as propriedades de simetria, bilinearidade no primeiro argumento e positividade definida.

Passo 2

Primeiro, simetria: para quaisquer u=(x,y) e v=(x',y'),
lang<= v,urang<= = x'xa^2 + y'yb^2 = x x'a^2 + y y'b^2 = lang<= u,vrang<=
Como a expressão é comutativa nos produtos, temos lang<= u,vrang<==lang<= v,urang<=.

Passo 3

Depois, linearidade no primeiro argumento: sejam u1=(x1,y1), u2=(x2,y2) e escalares alpha,beta. Então
lang<= alpha u1+beta u2, vrang<= = (alpha x1+beta x2)x'a^2 + (alpha y1+beta y2)y'b^2 = alphal(x1x'a^2+y1y'b^2r) + betal(x2x'a^2+y2y'b^2r) = alphalang<= u1,vrang<= + betalang<= u2,vrang<=
Logo, é linear.

Passo 4

Por fim, positividade definida: para u=(x,y)
lang<= u,urang<= = x^2a^2 + y^2b^2
Como a^2>0 e b^2>0, cada termo é não negativo e só zera simultaneamente quando x=0 e y=0, ou seja, u=0.

Passo 5

Conclusão: a forma bilinear satisfaz simetria, linearidade e positividade definida, então é um produto interno em R^2 sempre que a,b sejam reais não nulos.

Resposta

Sim. A forma lang<= u,vrang<==tfracxx'a^2+tfracyy'b^2 satisfaz simetria, bilinearidade e positividade definida, logo é produto interno em R^2.

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